第二十七章 相似
1.三角形相似的证题思路:
(1)相交线型
常见的有如下四种情形,如图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADE∽
△ABC.
如下左图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADC∽△ACB,
如下右图,已知∠B=∠D,则由对顶角∠1=∠2得,△ADE∽△ABC.
(2)旋转型
已知∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,下图为常见的基本图形.
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(3)母子型
已知∠ACB=90°,AB⊥CD,则△CBD∽△ABC∽△ACD.
解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.
【例1】已知如图:(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的
是 ( )
A.都相似 B.都不相似
C.只有(1)相似 D.只有(2)相似
【标准解答】选A.图(1)中已有一组角相等,根据三角形的内角和定理,即可求得△ABC的第三角,由有两角对应相等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似.如图(1),∵∠A=35°,∠B=75°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°,
∵∠E=75°,∠F=70°,
∴∠B=∠E,∠C=∠F,
∴△ABC∽△DEF.
图(2)根据图形中的已知条件,即可证得=,又由对顶角相等,即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似.如图(2),
∵OA=4,OD=3,OC=8,OB=6,
∴=,
∵∠AOC=∠DOB,∴△AOC∽△DOB.
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【例2】如图, ∠1=∠2,添加一个条件使得△ADE∽△ACB, .
【标准解答】∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠CAB.
当∠D=∠C或∠E=∠B或=时,△ADE∽△ACB.
答案:∠D=∠C(不唯一)
【例3】如图在△ABC中D是AB边上一点,连接CD,要使△ADC与△ABC相似,应添加的条件是 .
【标准解答】△ABC和△ACD中,∠DAC=∠CAB,若要△ADC与△ABC相似,需添加的条件为:
①∠ADC=∠ACB;②∠ACD=∠B;
③=或AC2=AB·AD.
答案:∠ADC=∠ACB(不唯一)
2.添平行线构造相似三角形的方法:
(1)相似三角形中,往往碰到要证的问题与三角形相似联系不上,或者说图中根本不存在相似三角形.为此我们通常过某一点作某条线段的平行线,构造出“A”型或“X”型,通过相似三角形转化为线段的比,从而解决问题.
【例4】在图1至图3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.
(1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系.
(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2,其中AO=OB.求证:AC=BD,AC⊥BD.
(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3,求的值.
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【标准解答】(1)AO=BD,AO⊥BD.
(2)如图,过点B作BE∥CA交DO于E,
∴∠ACO=∠BEO.
又∵AO=OB,∠AOC=∠BOE,
∴△AOC≌△BOE.
∴AC=BE.
又∵∠1=45°,
∴∠ACO=∠BEO=135°,
∴∠DEB=45°.
∵∠2=45°,
∴BE=BD,∠EBD=90°.
∴AC=BD.
延长AC交DB的延长线于F,如图:
∵BE∥AC,∴∠AFD=90°.
∴AC⊥BD.
(3)如图,过点B作BE∥CA交DO于E,
∴∠BEO=∠ACO.
又∵∠BOE=∠AOC,
∴△BOE∽△AOC.
∴=.
又∵OB=kAO,
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由(2)的方法易得BE=BD.
∴=k.
(2)在添加相关的平行线时,应尽量使所求结论的比例关系快捷地展现在平行线中,且最大限度地保留已知条件,尤其是比例关系在平行线中的简洁展现.
(3)在直角三角形或有垂线时,往往作垂线,得到辅助线与已知垂直线段平行.
【例5】如图(1),在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.
(1)如图(2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 .
证明:
(2)如图(3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 .
证明:
(3)如图(1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 .(写出关系式,不必证明)
【标准解答】(1)如图,连接DE,
∵AC=mBC,CD⊥AB,当m=1,n=1时,
∴AD=BD,∠ACD=45°,
∴CD=AD=AB,
∵AE=nEC,
∴DE=AE=EC=AC,
∴∠EDC=45°,DE⊥AC,
∵∠A=45°,∴∠A=∠EDG,
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∵EF⊥BE,
∵∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°,
∴∠AEF=∠DEG,
∴△AEF≌△DEG,
∴EF=EG.
(2)EF=EG.证明:作EM⊥AB于点M,EN⊥CD于点N,
∴EM∥CD,
∴△AEM∽△ACD,
∴==,
即EM=CD,
同理可得,EN=AD,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴tanA===1,
∴=,
又∵EM⊥AB,EN⊥CD,
∴∠EMF=∠ENG=90°,
∵EF⊥BE,∴∠FEM=∠GEN,
∴△EFM∽△EGN,
∴==,
即EF=EG.
(3)EF=EG.
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是 ( )
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A.=
B.=
C.=
D.=
2.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是 ( )
A. B. C. D.
3.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 ( )
A.∠ABD=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.AB2=AD·AC
D.=
4.在△ABC中,DE∥BC,AE∶EC=2∶3,DE=4,则BC等于 ( )
A.10 B.8
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C.9 D.6
5.如图,已知△ABC中,点D在AC上,且∠ABD=∠C,求证:AB2=AD·AC.
6.如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点E,BF平分∠ABC交AD于点F.
(1)当CE=BE时,线段CD与AB之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.
(2)当AF=AD时,线段AB,BC,CD之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.
7.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD,连接MF,NF.
(1)判断△BMN的形状,并证明你的结论.
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由.
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8.如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.
求证:(1)△ACE≌△BCD.(2)=.
9.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=.
(1)求证:△ACD∽△CBD.
(2)求∠ACB的大小.
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10.如图,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP.
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
3.位似变换
平面直角坐标系中的位似变换一般有两种情况:(1)位似变换是以原点为位似中心:相似比为k,则位似图形对应点坐标的比等于k或-k.(2)位似变换的位似中心不在原点:此时抓住对应线段的比等于相似比,再把点的坐标转化为一些线段长度,即向x轴、y轴分别作出垂线段,找到相似三角形,再计算一些长度.(3)两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行,则位似中心就是两对对应点的连线所在直线的交点,有时要分类讨论了.
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【例1】已知:A(-4,2),B(-1,-1),以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标为 .
【标准解答】因为以原点O为位似中心,相似比为1∶2,所以点A的对应点A′的坐标为(-2,1)或(2,-1).
答案:(-2,1)或(2,-1)
【例2】在13×13的网格中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,相似比为2∶1,画出△ABC的位似图形△A′B′C′.
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标.
【标准解答】(1)如图:
(2)A′(3,6),B′(5,2),C′(11,4).
【例3】如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是 ( )
A.- B.-(a+1)
C.-(a-1) D.-(a+3)
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【标准解答】选D.∵点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.点B的对应点B′的横坐标是a,∴FO=a,CF=a+1,∴点B的横坐标是:-(a+1)-1=-(a+3).故选D.
1.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标
为 ( )
A.(3,3) B.(4,3)
C.(3,1) D.(4,1)
2.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1∶2,
∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(1,1)
C.(,) D.(2,1)
3.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶4
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C.1∶5 D.1∶6
4.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是 .
5.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB∶DE= .
6.如图,在边上为1个单位长度的小正方形网格中:
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度,再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1.
(2)以点B为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2.
(3)求△CC1C2的面积.
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跟踪训练答案解析
2.添平行线构造相似三角形的方法
【跟踪训练】
1.【解析】选C.∵AD∶DB=1∶2,
∴AD∶AB=1∶3.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴相似比为.故答案为C.
2.【解析】选C.∵AB,CD,EF都与BD垂直,
∴AB∥CD∥EF,
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,
∴=,=,
∴+=+==1.
∵AB=1,CD=3,∴+=1,
∴EF=.
3.【解析】选D.在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当=时,才能使△ADB∽△ABC,不是=.
4.【解析】选A.∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=.∴=.
∴BC=10.故选A.
5.【证明】∵∠ABD=∠C,∠A是公共角,
∴△ABD∽△ACB,
∴=,
∴AB2=AD·AC.
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6.【解析】(1)∵CE=BE,∴=,
又∵CD∥AB,
∴△ECD∽△EBA,
∴==.
(2)当AF=AD时,AB=BC+CD.
证明:取BD的中点为K,连接FK交BC于G点,由中位线定理,得FK∥AB∥CD,
∴G为BC的中点,∠GFB=∠FBA,
又∵BF平分∠ABC,
∴∠FBA=∠GBF,∴∠GFB=∠GBF,
∴FG=BG=BC,而GK=CD,KF=AB,
∵KF=FG+GK,即AB=BC+CD,
∴AB=BC+CD.
7.【解析】(1)△BMN是等腰直角三角形.
∵AB=AC,点M是BC的中点,
∴AM⊥BC,AM平分∠BAC.
∵BN平分∠ABE,AC⊥BD,
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=(∠BAE+∠ABE)=45°.
∴△BMN是等腰直角三角形.
(2)△MFN∽△BDC.理由如下:
∵点F,M分别是AB,BC的中点,
∴FM∥AC,FM=AC.
∵AC=BD,
∴FM=BD,即=.
∵△BMN是等腰直角三角形.
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∴NM=BM=BC,即=.
∴=.
∵AM⊥BC,
∴∠NMF+∠FMB=90°.
∵FM∥AC,∴FM⊥BE.
∴∠CBD+∠FMB=90°.
∴∠NMF=∠CBD.
∴△MFN∽△BDC.
8.【证明】(1)∵△ABC与△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ABC与△CDE都是等边三角形,
∴AB=AC,CD=ED,∠ABC=∠DCE=60°,
∴=,AB∥DC,
∴∠ABG=∠GDC,∠BAG=∠GCD,
∴△ABG∽△CDG,
∴=.
同理,=.
∴=.
9.【解析】(1)∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵=.
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD,
∴∠A=∠BCD,
在△ACD中,∠ADC=90°,
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∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.
10.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,
∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD,
∴=,
∴AB·CD=CP·BP.
∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.
(2)∵PD∥AB,
∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C,
∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B,
∴△BAP∽△BCA,
∴=.
∵AB=10,BC=12,
∴=,
∴BP=.
3.位似变换
【跟踪训练】
1.【解析】选A.∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴端点C的坐标为(3,3).
2.【解析】选B.∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1∶2,∴OB=OD,
∵CO=CD,
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∴CB⊥OD,
∵B(1,0),
∴OB=CB=1,
∴点C的坐标为(1,1).
3.【解析】选B.∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,
∴OA∶OD=1∶2,
∴△ABC与△DEF的面积之比为:1∶4.
4.【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴OA∶OD=1∶,
∵点A的坐标为(0,1),
即OA=1,
∴OD=,
∵四边形ODEF是正方形,
∴DE=OD=.
∴E点的坐标为(,).
答案:(,)
5.【解析】∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,∴△ABC∽△DEF,
∴△ABC的面积:△DEF面积==,
∴AB∶DE=2∶3.
答案:2∶3
6.【解析】(1)如图所示:
(2)如图所示:
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(3)如图所示:
△CC1C2的面积为×3×6=9.
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