分式恒等变形
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满分晋级
代数式12级
二次根式的综合化简
代数式11级
分式恒等变形
代数式10级
二次根式的概念及运算
秋季班第九讲
秋季班第八讲
暑期班第九讲
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题型一：分式的混合运算与化简求值
思路导航
对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.
例题精讲
【引例】 计算
【解析】 原式
【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的
时候需要思考一下简单方法.
典题精练
【例1】 计算：
⑴
⑵
【解析】 ⑴；
⑵原式
【探究对象】条件分式求值的方法与技巧
【探究一】将条件式变形后代入求值
【变式一】已知，求的值．
【解析】 设，
则x=2k，y=3k，z=4k
∴原式＝．
【备注】已知连比，常设比值k为参数，这种解题方法叫见比设参法．
【变式二】已知，求的值．
【解析】 由，有，
∴或，
解得或．
当时，原式＝；
当时，原式＝．
【探究二】将所求式变形代入求值．
【变式三】已知，求的值．
【解析】 原式
∵，
∴原式．
【变式四】已知，且，求代数式的值．
【解析】 原式
【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．
【变式五】已知，求分式的值．
【解析】 原式
∵，
∴，
∴原式＝1．
【备注】本例是将条件式化为“”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．
【变式六】若，，求的值．
【解析】 由于，∴，，解得=3，=2
∴=
==
==．
【例1】 将下列式子先化简，再求值
⑴已知：，求代数式的值；
⑵已知：，求的值；
⑶已知：，且，求m的值；
⑷已知，求的值．
【解析】 ⑴原式 当时， 原式
⑵，故
⑶∵，∴，
又∵
∴
⑷解法一：将分子、分母同除以，得：
原式．
解法二：由，得，即，代入所求分式得：
．
题型二：分式的恒等变形
思路导航
恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．
将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．
以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．
例题精讲
【引例】 已知有理数、、满足，求证：，或，或．
【解析】
① 若
则
∴
∴
∴或
②当时，即
综上所述，或，或．
【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．
典题精练
【例1】
若为自然数，且，求证：．
【分析】 若，则或或，用以解决本题就容易多了．
【解析】 证明：由得或或，不妨设，代入左边
左边
，
而右边
，
∴左边右边，原式成立．
【例1】 若，求证：
【解析】 证法1：∵，∴代入到等式左边
左边
右边
证法2：左边
右边
题型三：部分分式与分离常数
思路导航
此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.
例题精讲
【引例】 已知与的和等于，求、的值．
【解析】
所以，解得
典题精练
【例1】 已知，其中、为常数，求的值．
【解析】 ，，原式
【例2】 ⑴若整数使为正整数，则的值为 ．
⑵若取整数，则使分式的值为整数的的值有（ ）．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【解析】 ⑴ ；
⑵ B，∵，又，，，， ∴的整数值有4个.
【例3】 已知，求的值．
【解析】因为．
所以
，①
，②
，③
由①+②+③得，
即．
当时，，所以．
当时，，所以，所以的值是或．
思维拓展训练(选讲)
训练1. ⑴若不论为何值，分式总有意义，则 ．
⑵已知分式的值为零，那么的值是 .
⑶当 时，分式的值为正数.
⑷当满足 时，.
【解析】 ⑴；⑵ ；⑶ ；⑷;
训练2. ⑴
⑵其中
【解析】 ⑴
⑵
当时，原式
训练3. 已知，求的值.
【解析】 ，故.
训练4. 已知，其中、、为常数，求的值．
【解析】 原式右边，得，，，解得，，，从而．
[来
复习巩固
题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习
【练习1】 计算：
【解析】 原式=
【练习2】 若，，则式子的值为 .
【解析】
题型二 分式的恒等变形 巩固练习
【练习3】 已知、、为三个不相等的实数，且，求证：.
【解析】 由，得，故，同理可得，，
故.
题型三 部分分式与分离常数 巩固练习
【练习4】 若恒成立，求M、N的值．
【解析】 ∵，
∴
∴
则，
即
故，
∴ 解得：
【练习1】 当为何值时，分式有最小值？最小值是多少？
【解析】
∴当时，原分式有最小值4．
课后测
测试1. ⑴计算：
⑵先化简，再求值：，其中．
【解析】 ⑴．
⑵原式 ．
当时，原式
测试2. ⑴已知：，求的值.
⑵已知，则的值是 ．
【解析】 ⑴变形可得：，所以或，所以或.
⑵∵，∴，，
微生物之父
列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。早年年轻的列文胡克，是一位看门人。看门的工作相对轻松，时间充裕，并且能够经常遇到形形色色的人。有一天，列文胡克从一个朋友口中听说，在欧洲重镇阿姆斯特丹的眼镜店里，会出售一种名为放大镜的东西，可以让原本看不清楚的小东西变大，变得可以看清楚。
列文胡克觉得非常有意思，充满好奇心的他也想体验一下这种神秘的装置。于是他跑到眼镜店想去购买一个放大镜，可是，这种新装置的价格实在太贵了，列文胡克根本就承担不起。他很遗憾的要离开眼镜店，却看到店里的师傅正在磨制镜片。
列文胡克仔细观察了一番，他发现镜片的磨制的最基本方法实际并不复杂和神秘，关键点在于磨制的手工熟练度和耐心。经过不屑的努力，终于磨制出了自己的放大镜。随后，为了方便使用，他还将镜片固定在一个支架上，并在镜片的下端放置了一个金属片，并在金属片上打孔。这就是世界上第一款显微镜。
列文胡克经常把自己关在一间密室里，用各种材料磨制镜片，组装各式各样的显微镜，并日以继夜的用显微镜观察各种事物。他在这个微世界里，发现了微生物，发现了人血红细胞，甚至隐约看到了200年后人类在真正开始了解的细菌。
列文胡克一生磨制了超过500个镜片，组装了大小各异的400款显微镜。并通过广泛的细致观察，成为很多微生物和细胞的第一个发现者。
列文胡克在朋友的劝导下，将自己的发现记录下来，并邮寄给英国皇家学会。通过英国皇家学会刊登出来，和全世界科学家分享他的发现。列文胡克也因此成为皇家学会的会员。虽然他从未受到高等教育，并且根本不会阅读拉丁语（此前的很多科学资料，都是以拉丁文书写的。）最终被历史公认为“微生物之父”。
今天我学到了
第十五种品格：创新
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