人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》讲义（含解析）.doc

‎3‎ 平行四边形 满分晋级阶梯 四边形3级 梯形 四边形2级 矩形、菱形、正方形 四边形1级 平行四边形 寒假班 第三讲 寒假班 第四讲 寒假班 第五讲 漫画释义 ‎ 造句 知识互联网 题型切片 题型切片（两个）‎ 对应题目 题型目标 平行四边形的定义及性质 例1；例2；演练1；例3；‎ 平行四边形的判定 例4至例7；演练2；演练4；演练5；‎ 例8；演练3‎ 编写思路 本讲内容主要分为两个模块，模块一主要讲解平行四边形的基本概念及性质，主要分为两类题型：一类是基本性质，主要为利用平行四边形的边、角关系练习的基础题目（例1及例3）；另外一类主要是针对平行四边形的中心对称性结合面积的一些题目，出题形式灵活，对学生要求略高（例2）；‎ 模块二介绍平行四边形的判定后，题目中往往性质和判定相结合使用，几道解答题较为综合，均为常考的中等难度代表题型，综合考查学生对平行四边形各知识点的掌握程度；其中教师备选给出了一些常见条件，教师可引导学生进行组合进而判定平行四边形，进一步深入理解平行四边形的判定定理；‎ 本讲的最后一部分主要针对学生画图解决问题的能力，进一步强化训练学生对构图的敏感性及创新应用能力，为近年中考考查趋势．‎ 模块一 平行四边形的定义及性质 知识导航 定 义 示 例 剖 析 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）．‎ 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点．‎ 如右图的平行四边形不能表示成 也不能表示成．‎ 四边形叫做平行四边形 ‎ 性 质 示 例 剖 析 ‎① 平行四边形的对边平行且相等；‎ 四边形为平行四边形 AB//DC且AB=DC AD//BC且AD=BC ‎② 平行四边形的对角相等；‎ 四边形为平行四边形，．‎ ‎③ 平行四边形的对角线互相平分．‎ 四边形为平行四边形，．‎ ‎ 重要结论 示 例 剖 析 ‎① 平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．‎ Ⅰ．连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称．‎ Ⅰ．四边形为平行四边形，、在上，且线段过点 Ⅱ． ‎ Ⅱ．经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平行四边形分成面积和周长相等的两部分．‎ ‎ 　 ‎ ‎②四边形的知识是三角形知识的延伸，所以在解决平行四边形相关问题时，要结合三角形和全等三角形的知识综合运用．‎ ‎ ‎ 夯实基础 【例1】 ‎⑴在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果，则=______；‎ ‎⑵在平行四边形ABCD中，若周长为‎54cm，cm，则cm；‎ ‎⑶在平行四边形ABCD中，平分，则对角线与的位置关系为_________；‎ ‎⑷平行四边形ABCD的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长多，则的长度为 ． ‎ 【解析】 ‎⑴ 25° ； ⑵ 16； ⑶ 互相垂直；‎ ‎⑷如图，的周长为，‎ 的周长为，‎ 由平行四边形的对角线互相平分可得：‎ cm ‎∴cm． ‎ 能力提升 【例2】 ‎⑴如下左图，在平行四边形ABCD中，、为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎⑵ 如下右图，平行四边形ABCD的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，则图中的全等三角形共有______对．‎ ‎⑶在平行四边形ABCD中，若为上一点，且，‎ 则．‎ ‎⑷平行四边形ABCD中，是平行四边形内任意一点，、、和的面积分别为、、和，则一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ 【解析】 ‎⑴ C；⑵ 6；⑶12；‎ ‎⑷设间距离为，间距离为，‎ 又 ‎∴ ∴选D．‎ 【例1】 ⑴如图，在平行四边形ABCD中，、是对角线上的两个点且，试猜想与有何位置关系及数量关系并加以证明．‎ ⑵如图，已知：在平行四边形中，的角平分线交边于，的角平分线交于，交于．求证：．‎ 【解析】 ‎⑴猜想：AE//CF且 AE=CF 证明：∵在平行四边形中，，， ‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴ ‎ ‎∴，∴， ∴‎ ‎∴AE//CF且 AE=CF ‎⑵ ∵四边形是平行四边形 ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平分，平分 ‎∴，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，即 模块二 平行四边形的判定 知识导航 判 定 示 例 剖 析 ‎① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 四边形 ‎ 是平行四边形 ‎② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 四边形 ‎ 是平行四边形 ‎③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四边形 ‎ 是平行四边形 ‎④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 ‎⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四边形 ‎ 是平行四边形 夯实基础 【例1】 ‎⑴ 已知AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，需要添加的条件 （只需填一个你认为正确的即可）‎ ‎⑵、、、在同一平面内，从①；②；③；④，这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎⑶已知三角形，若存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点有 个．若已知的周长为3，则以所有点围成的多边形周长为 ．‎ 【解析】 ‎⑴或 ‎⑵ 选法有：①②或①④或②③或③④ ∴选B ‎⑶ 3，6 ‎ ‎【教师备选】已知四边形的对角线、相交于点，给出下列条件，任选其中2个哪些能推出四边形为平行四边形.‎ ‎①，②，③，④，‎ ‎⑤，⑥，⑦，⑧.‎ ‎【探究1】任选2个，有几种情况？‎ ‎①②‎ ‎①③‎ ‎①④‎ ‎①⑤‎ ‎①⑥‎ ‎①⑦‎ ‎①⑧‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎②③‎ ‎②④‎ ‎②⑤‎ ‎②⑥‎ ‎②⑦‎ ‎②⑧‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎③④‎ ‎③⑤‎ ‎③⑥‎ ‎③⑦‎ ‎③⑧‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎④⑤‎ ‎④⑥‎ ‎④⑦‎ ‎④⑧‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎⑤⑥‎ ‎⑤⑦‎ ‎⑤⑧‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎⑥⑦‎ ‎⑥⑧‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎⑦⑧‎ ‎√‎ ‎【探究2】不成立的，举出反例.‎ ‎①④、②③反例：等腰梯形.‎ ‎②⑤、②⑥、④⑤、④⑥反例：参见易错门诊.‎ ‎②⑦、②⑧、④⑦、④⑧反例：如图1. ‎ ‎⑤⑦、⑥⑧反例：筝形如图2.‎ ‎【探究3】成立的，说明理由.‎ ‎①②、③④理由：一组对边平行且相等；‎ ‎①③理由：两组对边分别平行；‎ ‎①⑤、①⑥、③⑤、③⑥、⑤⑥理由：可推出两组对边分别平行；‎ ‎①⑦、①⑧、③⑦、③⑧理由：可推一组对边平行且相等；‎ ‎②④理由：两组对边分别相等；‎ ‎⑦⑧理由：对角线互相平分.‎ ‎⑤⑧、⑥⑦理由：如图3，，.‎ 延长到点，使得，连接、.‎ 利用对角线互相平分可得四边形为平行四边形，‎ 若点或点与点不重合，必有 ‎（或），故 ‎(或)‎ 能力提升 【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．‎ ‎ ⑴ 求证：四边形AFCE是平行四边形．‎ ‎ ⑵ 若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；‎ 若不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【解析】 ‎⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°‎ ‎∴∠ADE=∠CBF=60°‎ ‎∵AE=AD，CF=CB ‎∴△AED、△CFB是正三角形 在平行四边形ABCD中，AD=BC，DC∥AB且DC=AB ‎∴ED=BF ‎ ‎∴ED+DC=BF+AB 即 EC=AF ‎ 又∵DC∥AB 即EC∥AF ‎∴四边形AFCE是平行四边形． ‎ ‎⑵上述结论还成立 ‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥AB且DC=AB ‎∴∠ADE=∠CBF ‎∵AE=AD，CF=CB ‎∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF ‎∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC ‎∴△ADE≌△CBF ‎ ‎∴ED=FB ‎∵DC=AB ‎∴ED+DC=FB+AB 即EC=FA ‎ ‎∵DC∥AB即EC∥AF ‎∴四边形AFCE是平行四边形 【例1】 如图，已知是平行四边形的对角线，和△ACQ都是等边三角形，求证：四边形是平行四边形．‎ 【解析】 方法一：（利用全等得两组对边相等）‎ ‎∵是平行四边形的对角线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 类似可证 ‎∴‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ 方法二：（利用对角线互相平分证明结论）‎ 连结交于，连结、．‎ 利用和是全等等边三角形可得 ‎、、三点共线，且 又∵‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ 【例2】 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ 【解析】 证明：法一：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，‎ ‎ ∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形， EF⊥AB，‎ ‎∴∠AEF=30°∴AE=2AF，且AB=2AF，‎ ‎∴AF=CB，而∠ACB=∠AFE=90°，‎ 在Rt△AFE和Rt△BCA中，,‎ ‎∴△AFE≌△BCA（HL），‎ ‎∴AC=EF；而△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAC=60°,∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，‎ ‎∴EF∥AD，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形 ‎【拓展】本题条件充足，可以引导学生进行一题多解，开阔做题视野的同时练习各种平行四边形判定定理。‎ 上述证明过程为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 法二（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）：EF∥AD同法一，‎ ‎∵∠DFE=60°+90°=150°，∠AEF=30°，∴AE∥DF 法三（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）：EF=AD同法一，△ADF≌△AEF ‎（SAS）∴AE=DF 法四（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）：∠DAE=60°+30°+60°=150°，∠DFE=60°+90°=150°，∠AEF=30°，由于四边形内角和360°，∴∠ADF=30°‎ ‎ ‎ 真题赏析 【例1】 ‎5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”‎字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：‎ ‎⑴5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；‎ ‎⑵如图3，在面积为1的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．则平行四边形MNPQ的面积为__________（在图3中画图说明）．‎ 【解析】 ‎⑴如图2所示：拼接成的四边形是平行四边形；‎ ‎⑵正确画出图形（如图3）‎ ‎ ‎ 故平行四边形的面积为：‎ ‎【分析】创新探索题型，考查学生的动手操作能力，画图一直是学生的弱项，希望能通过相关题目不断练习提升．该题目的关键点在于第⑵问能够正确画出图形，提醒学生不要用比例运算的方法求得．‎ ‎【教师备选】现有如图铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．‎ 【解析】 ‎ 答案不唯一（以下为三种示例）．‎ 【点评】 此题考查平行四边形重心就是对角线交点，过这一点的任意一条直线均等分其面积．‎ 思维拓展训练（选讲）‎ 训练1. ‎⑴如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段，把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为，，和，则下列等式一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 【解析】 ‎⑴设间的距离为，间的距离为，由 ‎，∴ ∴选D．‎ ‎⑵平行四边形ABCD中，是形内任意一点，判断下列关系:‎ DP+PB__ AD+AB, AP+CP__ AD+AB 【解析】 ‎⑵DP+PB