天水一中高二级2018-2019学年第二学期第一学段考试
数学试题（文）
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若间的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知等比数列的首项为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需
把的图象上所有点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则
A． B．2 C． D．3
11．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设函数的导函数为，若函数的图象的顶点横坐标为，且，则的值_______.
14．不透明的袋中有个大小相同的球，其中个白球，个黑球，从中任意摸取个球，则摸到同色球的概率为_______________。
15．已知等差数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则的值为__________．
16．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最小值是__________.
三、解答题（共70分.选做题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程）
17．（12分）已知等差数列和等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式：
（2）求和：．
18．（12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）中，角的对边为，若，求边的长.
19．（12分）已知椭圆：的中心是坐标原点，左右焦点分别为，，设是椭圆上一点，满足轴，，离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆左焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.
20．（12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
23
7
30
女
9
11
20
总计
32
18
50
表（1）
并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（2）所示.
成功完成时间（分钟）
人数
10
4
4
2
表（2）
（Ⅰ）判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（Ⅱ）现从表（2）中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.
附参考公式及参考数据：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）已知函数在点处的切线方程是．
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）。
请考生在第22-23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中
为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.
23（10分）．选修4-5不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D2．C3．A4．B5．C6．B7．A8．C9．A10．B11D12．A
13． 1415．16．
17．（1）；（2）
【详解】
解：1等差数列和等比数列满足，．
，解得，，
数列的通项公式．
2等差数列和等比数列满足，．
，解得，，
．
18．（1），；（2）7.
（1）
令，则，
故单增区间为，
（2）由（1）知，，∴，，
故又，∴，∴，
在中，由正弦定理，得，∴.
19．(1) (2)
【详解】
（1）由题意知，，，，，
所以.
（2）由条件可知：，联立直线和椭圆，
有，有，设，，
有，
所以.
20．（Ⅰ）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）
喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
23
7
30
女
9
11
20
总计
32
18
50
由表中数据可得，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.
（Ⅱ）6名男生中任意抽取2人共：15种结果.
2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形：完成时间都在或都在
完成时间都在共有6种结果，完成时间都在有1种结果，
21．（1），；（2）最大值为，最小值为.
【详解】
（1）因为，，
则，，
函数在点处的切线方程为：，
由题意得，即，.
（2）由（1）得，函数的定义域为，
∵，∴，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为．
又，，且．∴在上的最大值为.
综上，在上的最大值为，最小值为
22．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：利用两式相减削去参数，把直线的参数方程化为普通方程，再利用公式 和把极坐标方程化为直角坐标方程，涉及弦长问题常用直线的参数方程解决，写出过点与直线平行的直线的参数方程，把直线的参数方程化为代入到圆的方程，利用直线的参数方程 的几何意义，把 表示为，再利用 求出 .
试题解析：（1）由，消去参数，得直线的普通方程为.
又由得，
由得曲线的直角坐标方程为.
（2）过点且与直线平行的直线的参数方程为
将其代入得，
则，知，
所以
23．（1）；（2）
（1）时，可得，即，
化简得：，所以不等式的解集为.
（2）①当时，，由函数单调性可得
，解得；
② 当时，， ，所以符合题意；
③当时，，由函数单调性可得，，解得；
综上，实数的取值范围为.
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