2018—2019 学年下期中考
20 届高二文科数学试题
说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120
分钟．
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法错误的是( )
A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C．线性回归方程对应的直线
D．在回归分析中，相关指数
ˆ
ˆ
ˆ
y = bx + a 至少经过其样本数据点中的一个点
2
越大，模拟的效果越好
R
2．已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组
合成“三段论”,根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（ ）
A．正方形的对角线相等 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形是平行四边形 D．以上均不正确
3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，反设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于 60°
C．假设三内角至多有一个大于 60°
4．下列推理是类比推理的是( )
B．假设三内角都大于 60°
D．假设三内角至多有两个大于
60°
A．A，B
为定点，动点P满足PA+PB=2a>AB，则P点的轨迹为椭圆
B．由a=1，a
= 3n-1 ，求出S
，S
，S
，猜想出数列的前n项和S
的表达式
1
n
1
2
3
n
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆
x 2
+
y2
=1 的面积S= πab
a 2
b2
D．以上均不正确
高二文科 数学 第1页（共6页）
5．为考察
A
，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )
A.药物A、B对该疾病均没有预防效果
B.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
C.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
D.药物B的预防效果优于药物A的预防效果
2
- 3m- 1)
2
- 5m-6)i} ，
6．若M={1, 2, (m
+ ( m
N ={-1, 3}
，M
N ={3}
，则实数m=（）
A．4
B．-1或4
C．-1或6
D．
(第5题图)
-1
7．非零复数
z1、 z2
分别对应复平面内的向量OA、OB，若|z1
+ z2|=| z1- z2|，则( )
A．OA^OB
B．|OA|=|OB|
C．OA=OB
D．OA和OB共线
8．已知命题
p :$x ÎR,sinx=
5
2
+ x +1>0.则下列结论中正
2
，命题q:"xÎR,x
确的是（
）
①命题“
p Ù q ”是真命题；
②命题“pÙ Øq”是假命题；
③命题“ØpÚq”是真命题；
④命题“ØpÚ Øq”是假命题.
A．①④
B．②③C．①③
D．②④
9 ．已知下列等式：
2 +
2
= 2
2
3
3
，
3 +
3
= 3
3
8
8
，
4 +
4
= 4
4
15
15
，
5 +
5
= 5
5
，…，
10 +
a
=10
a
，则推测a+b=（
）
24
24
b
b
A．106
B．107
10．下列选项中不正确的是（
C．
）
108
D．
109
A．DABC中，A>B，则sinA>sinB的逆否命题为真命题；
B．若am2 2
，
2
n
3
f (8)>
5
，f(16)>3，f
(32) >
7
，则根据以上式子得到第
2
2
16．若x，x
Î R ，且
1
= 1
，则|x
+ x
1
2
(2
+ sin x1 )(2 + sin 2 x2 )
1
2
(第13题图)
n 个式子为_____.
| 的最小值为______.
高二文科 数学 第3页（共6页）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
集合
A
=
{x | ( x - a )( x -3a ) 0}，
B
=
{x | x =2t-2
, 2 k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
高二文科
数学
第4页（共6页）
20．（本小题满分 12 分）
某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研
究年研发经费x(单位：万元)对年创新产品销售额y
(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费xi与
年创新产品销售额
yi
（其中
i =1, 2,
10
）的数据作
了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.
其中
10
å i
=
x
i=1
65
，
10
å i
=
y
i=1
75
10
i
å
- 3)
2
=
，
( x
i=1
205
，
10
i
å
- 3)
4
( x
i=1
=
8773
，
10
i
i
å
- 3)
2
( x
y
i=1
=
2016
.现拟定
y
关于
x
的回归方程为
ˆ
2
yˆ= b ( x -3)
+ aˆ
.
ˆ
ˆ
（1）求b
)；
，a的值(结果精确到0.1
（2）根据拟定的回归方程,预测当研发经费为13万元时,年创新产品销售额是多少？
参考公式：
n
i
n
i
i
å i
- nx×y
å
- y)
ˆ
x y
( x
- x )( y
ˆ
求线性回归方程系数公式：b=
i =1
=
i=1
ˆ
n
n
，a=y-bx
å i
2
- nx
2
å
i
2
x
( x-x)
i =1
i=1
21．（本小题满分 12 分）
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图①、②、
③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都
①
②
③
④
由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现
.
按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含（1）求出f(5)；
（2）归纳出f(n+1)
与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求
（3）求证：
1
+
1
+
1
+ +
1
<
3
．
f (1)
f (2)-1
f (3)-1
f ( n)-1
2
f ( n)个小正方形．
f ( n)的表达式；
高二文科 数学 第5页（共6页）
请考生在第22题，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所选的第一题计分.
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系
的长度单位为长度单位建立极坐标系.
已知直线
l
的参数方程为
ìx
í
y
î
= =
2 - 3t
-1 +
（
2t
t
为参
数），曲线C
的极坐标方程为
r sin 2q
= 4cosq
.
（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求
23．（本小题满分 10 分） 选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)= x +1+ x -2，g(x)=x-3
（1）求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的xÎR，不等式g(a)£f(x)
AB .
+ x -2.
恒成立，求实数
a
的取值范围.
高二文科 数学 第6页（共6页）
2018—2019 学年下期中考
20 届 高二文科数学试题参考答案
一．
CABCC
DABDB
CB
二． 13．19
14．0
15．f(2n+1)
>
n +3
( nÎ N* )
16．p
2
4
三．
17．解：（1）[2, 3
)
（2）
a >0，\
A =( a, 3a)，
B =(1, 2)
……6
\
B
A
q 是p的充分不必要条件，
ìa £1
2
由 BÍA 得 í
，解得
£ a £1
，又 a=1 及 a
3
3a³ 2
î
\
2
£ a £1
3
18．解：（1）设z=a+bi , a, bÎ R, a> 0
，由
| z |=
10
得 a2+
又 (1+2i) z=(1+2i)(a+bi)=a-2b+(2a+b) i
由题 a-2b=2a+b ，即 a= -3b
②，
联立①②及 a>0 解得 a=3,b= -1 ，
=
b2
2
符合题意
3
……12
= 10 ①，
\
z =3- i
……6
（2）又 z+
m - i
= 3 +i+
( m-i )(1 -i)
=
m +5
+
1 -m
i
1 +i
2
2
2
由题意
m +5
=
0
且
1 -m
¹ 0 ，
m = -5
……12
2
2
\
1
19．解：（1）因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为2，
所以喜爱打篮球的总人数为 50´12=25 人，
所以补充完整的 2´2 列联表如下：
高二文科 数学答案 第 1 页（共 4 页）
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
15
5
20
女生
10
20
30
合计
25
25
50
……6
（2）根据列联表可得 K2 的观测值
k =
50 ´ (20 ´ 15 - 10 ´5)
2
30
´ 20
´ 25 ´25
» 8.333 >
6.635
，
所以有 99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．
=
( x-
2
ˆ
20．解：(1)令t
3)
，则 yˆ
= bt + aˆ
10
10
i
，
10
i
由 åi
= 75
， å
- 3)
2
=
å
-
4
= 8773
y
( x
205
( x
3)
i=1
i=1
i=1
1
10
1
10
得
t
=
å
( x
- 3)
2
= 20.5
， y=
y
= 7.5
，
10
i
10
å i
i=1
i=1
10
i
10
i
i
10
10
i
å i
=
å
- 3)
2
= 2016
， åi
=
å
- 3)
4
=
t y
( x
y
t
2
( x
i=1
i=1
i=1
i=1
10
i
å i
- 10t
×y
t
y
2016
- 205 ´ 7.5
b =
i
=1
=
ˆ
8773 - 205 ´ 20.5
» 0.1
10
2
-10t
2
åti
i=1
……12
10
i
i
å
- 3)
2
= 2016
，
( x
y
i=1
8773
ˆ
= 7.5 - 0.1´ 20.5
=
aˆ=y- b t
(2)由(1)知, 关于 的回归方程为
当 x=13
时，
yˆ
= 0.1(13 - 3)
2
5.45 » 5.5
yˆ=
0.1( x- 3)
2
+ 5.5
……8
yˆ=0.1( x -3)
2
+ 5.5
+ 5.5
= 15.5 （十万元）= 155 （万元）
故可预测当研发经费为 13 万元时,年创新产品销售额是 155 万元. ……12
21．解:（1）∵f(1)=1 ，f(2 )= 5 ，f(3 )=13 ，f(4 )= 25 ，
高二文科 数学答案 第 2 页（共 4 页）
∴ f (5)=25+4´4=41．
（ 2 ） ∵
(
)
( )
，
(
)
(
)
f
2
- f 1
= 4 = 4 ´1
f
3
- f 2
=
f
(
)
(
)
= 16 = 4 ´
4
，
5
- f
4
由上式规律得出
f
(
n +1- f
n
)
= 4n
．
)
(
∴
(
)
(
)
= 4
(
n
)
，
f
(
)
- f
(
n
f n
- f
n -1
-1
n -1
(
n -2
)
- f
(
)
(
) ，
，
(
)
-
f
n -3
=
4
n -3
f 2
8
- f
= 4 ´ 2
， f
2 )= 4 (n- 2
( )
= 4 ´1
，
1
……2 (4 )-f(3)= 12 = 4 ´3
) ，
∴
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
，
f
n
- f
1
= 4 ´ é
n -1
+
n -2
+
+ 2 + 1ù = 2
n
-1
× n
ë
û
∴
(
)
(
) ，
f
n
= 2n2- 2n+1 n³ 2
n =1
f
1
f
n
) ，∴
f n
2
- 2n+1
又
时，
也适合
= 2n
，……7
( )
(
( )
（3） 当
n ³2
1
=
1
=
1 æ
1
-
1 ö
时，
ç
÷ ，
2
f (n )-1
2n
- 2n+ 1 -1
2 èn-1 nø
∴
1
+
1
+
1
+
+
1
f
(1)
(2 )- 1
f
(3 )- 1
f
(n)-1
f
= 1 +
1 æ
1 -
1
+
1
-
1
+
+
1
-
1
ö
= 1 +
1 æ
1 -
1 ö
=
3
-
1
<
3
，
ç
n -1
÷
ç
÷
2
2
3
2
2 n
2
2 è
n ø
2 è
n ø
∴
1
+
1
+
1
+ +
1
<
3
．
……12
f 1
f
(
2
)
- 1
f 3
)
- 1
f
n
-1
2
( )
(
( )
22．解（1）
由
2
4cosq
2
2
，
r sin
q =
，即 r
sin q= 4 r cosq
得曲线 C 的直角坐标方程为
（2）将 l
的参数方程代入
y
2
= 4x
∴ t + t
2
= -2 ，t t
= -
7
，
1
1 2
4
y 2=4x
.
……4
，整理得 4t2+8t-7=0 ，
高二文科 数学答案 第 3 页（共 4 页）
= -3
2+2 2
t - t
=
´ t + t
2
- 4t t
=
´
∴
AB
2
13
2
13
4 + 7
1
1
1 2
(
……10
(x )= x +1+ x -2³( x +1)-( x -
2 )=
)(
23．解：（1）f
3 ，当且仅当
x +1 x
即
x Î[-1, 2]时取等号，此时 f (x)
min
= 3 .
……4
（2）对任意的
x ÎR，不等式
g (a )£ f
(x)
恒成立 Ûg(a)£f(x)
min
ìa £2
ì2
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