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高新部高一期末考试数学试题
一、单项选择（60分）
1、已知集合A={t2+s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（ ）
A．x+y∈A
B．x-y∈A
C．xy∈A
D．
2、设集合A={3，4，5}，B={3，6}，P={x|xA}，Q={x|xB}，则PQ=（ ）
A．{3}
B．{3，4，5，6}
C．{{3}}
D．{{3}，}
3、已知集合，a=3．则下列关系式成立的是（ ）
A．aA
B．aA
C．{a}A
D．{a}∈A
4、设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则AB中所有元素之积为（ ）
A．-8
B．-16
C．8
D．16
5、下列各个关系式中，正确的是（ ）
A．={0}
B．
C．{3，5}≠{5，3}
D．{1}{x|x2=x}
6、设集合M={a|x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a|x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7、含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．±1
8、已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}则a+b=（ ）
A．0或1
B．
C．
D．或
9、以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）
A. 中国古代四大发明 B. 周长为的三角形
C. 方程的实数解 D. 地球上的小河流
10、下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
11、若，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
12、下列六个关系式：①；②；③；④；
⑤；⑥，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 少于个
二、填空题（20分）
13、已知集合，，若，则 .
14、已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，则a的值为 ．
15、定义A-B={x|x∈A且xB}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=______．
16、已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为______．
三、解答题（70分）（17题10分，其余12分）
17、已知由方程kx2－8x＋16＝0的根组成的集合A只有一个元素，试求实数k的值．
18、设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
19、已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．
20、设S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}．
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S？
21、已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
22、对正整数n，记In={1，2，3，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
参考答案
一、单项选择
1、【答案】C
2、【答案】D
3、【答案】C
4、【答案】C
【解析】解：∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴AB={2，-4，-1}，
故AB中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8．
故选C．
5、【答案】D
6、【答案】A
【解析】解：由题意，对于集合M，△=a2-4＜0，解得-2＜a＜2；对于集合N，a≠3
若-2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立
故选A．
7、【答案】B
【解析】解：根据题意，由{a，，1}={a2， a+b，0}可得a=0或=0，
又由的意义，则a≠0，必有=0，
则b=0，
则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，
集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，
则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，
故选B．
8、【答案】D
【解析】∵集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}，
∴a=0，或△=16-4a=0．
当a=0时，{b}={x|-4x+1=0}={}，即b=，a+b=；
当△=16-4a=0时，a=4，
{b}={x|4x2-4x+1=0}={}，，即b=，a+b=．
故选D．
9、【答案】D
【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
10、【答案】C
【解析】因为,,所以选C.
11、【答案】A
【解析】由题意得a不等于零， 或,所以或,即的值为0，选A.
12、【答案】C
【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为个，故选C.
二、填空题
13、【答案】
【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.
,.,
又,,
14、【答案】
【解析】∵3∈A，∴a+2=3或2a2+a=3；
当a+2=3时，a=1，2a2+a=3，根据集合中元素的互异性，a=1不合题意；
当2a2+a=3时，a=1或a=-，a=-时，A={，3}，符合题意．
综上a=-
故答案是-
15、【答案】A-B={2}
【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，
又∵A-B={x|x∈A且xB}，
∴A-B={2}
16、【答案】3
【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，
∴4=m+1，
解得m=3．
三、解答题
17、【答案】当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A中只有一个元素2.
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根，
需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A中只有一个元素4.
综上可知k＝0或1.
【解析】
18、【答案】(1)由集合元素的互异性可得
x≠3，x2－2x≠x且x2－2x≠3，
解得x≠－1，x≠0且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x＝－2.
【解析】
19、【答案】（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2？A．
【解析】（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2？A．
20、【答案】(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×∈S．
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z．
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋n)＋(p＋q)，∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m、n、p、q∈Z．
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z．
∴x1·x2∈S．
综上，x1＋x2、x1·x2都属于S．
【解析】
21、【答案】(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an
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