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2018-2019学年下学期高三4月月考卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·维吾尔一模]已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．[2019·江西联考]已知复数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．[2019·金华期末]若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
4．[2019·郑州期末]的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2019·枣强中学]，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[2019·桂林调研]已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．[2019·江淮十校]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．225 B．75 C．275 D．300
8．[2019·临川一中]设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．[2019·东北育才]如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，
则该几何体的体积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
10．[2019·合肥一模]已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，
抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为（ ）
A． B．12 C． D．
11．[2019·太原期末]下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，必有
B．若，，对任意的，必有
C．若，，对任意的，必有
D．若，，总存在，当时，总有
12．[2019·泸州二诊]设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，，（为自然对数的底数），则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·济宁一模]某学校从编号依次为01，02，，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．
14．[2019·蓉城期末]在一个边长为4的正方形中，若为边上的中点，为边上一点，且，则________．
【答案】
【解析】分别以，所在的直线为，轴建立直角坐标系，
15．[2019·大庆实验]已知函数在区间上恰有8个最大值，则的取值范围是_________．
16．[2019·东北三校]四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·龙岩质检]已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和．
18．（12分）[2019·汉中联考]在四棱柱中，底面为平行四边形，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与底面所成角为，，，分别为，，的中点，求三棱锥的体积．
19．（12分）[2019·泸州二诊]今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为，，，的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在组的概率．
20．（12分）[2019·广安期末]已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点．
21．（12分）[2019·汉中联考]已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·十堰模拟]已知直线（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·马鞍山一模]已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
2018-2019学年下学期高三4月月考卷
文科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】集合，集合，则．
故答案为C．
2．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
3．【答案】C
【解析】
作出实数，满足约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由，得，由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，所以．故选C．
4．【答案】D
【解析】因为，所以，
由余弦定理，所以，故选D．
5．【答案】A
【解析】，为椭圆的两个焦点，可得，，，．
点在椭圆上，且线段的中点在轴上，，由椭圆的定义可知，，故选A．
6．【答案】A
【解析】因为，
又因为，所以，
则有
，故选A．
7．【答案】D
【解析】由程序，可得，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，，
不满足条件，退出循环，输出的值为300．故选D．
8．【答案】A
【解析】由于，，，故，，故，
而，故，所以，故选A．
9．【答案】A
【解析】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为，故选A．
10．【答案】A
【解析】设直线的方程为，
与联立可得，，
∵，，，则，
可得，，
四边形的面积为，故选A．
11．【答案】D
【解析】对于选项A，取，则，，不满足，
故A错误；
对于选项B，取，，，
则，，故选项B错误；
对于选项C，取，则，故选项C错误；
故选项D一定正确．（选项D中，，可知和都是增函数，同时二者图象关于直线对称，而函数，也是增函数，当足够大时，指数函数的增长速度最大，对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有．）
12．【答案】A
【解析】令，，
因为，则，
故在递增，
而，故，即，
即，故，即不等式的解集为，故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】32
【解析】样本间隔为，则第一个编号为5，第四个编号为，
故答案为32．
14．【答案】
【解析】分别以，所在的直线为，轴建立直角坐标系，
则由题意可得，，，，，
，，
∴，故答案为．
15．【答案】
【解析】因为，，所以，
又函数在区间上恰有8个最大值，
所以，得．
16．【答案】
【解析】由题意，，可得，
又因为底面，所以，即平面，所以，
取的中点，则，
故点为四面体外接球的球心，
因为，所以球半径，故外接球的表面积，
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），∴，，∴，
则，，．
（2）由（1）可知，，
，
，
，
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）
∵平面，平面，∴．
又，，，∴，
∵，∴．
又∵，∴．
又∵，平面，平面，
∴平面，而平面，
∴平面平面．
（2）∵平面，
∴即为直线与底面所成的角，即，
而，∴．
又，∴．
19．【答案】（1），230，224；（2）3家，2家，1家；（3）．
【解析】（1）由直方图的性质得，
解方程得，直方图中．
年平均销售量的众数是，
，年平均销售量的中位数在内，
设中位数为，则，
解得，年平均销售量的中位数为224．
（2）年平均销售量为的农贸市场有，
年平均销售量为的农贸市场有，
年平均销售量为的农贸市场有，
年平均销售量为的农贸市场有，
抽取比例为，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
故年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
（3）由（2）知年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，
2家，1家．
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，
基本事件总数，
恰有1家在组包含的基本事件的个数，
恰有1家在组的概率．
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线，当时，，，
由，得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得，，即恒成立．
即，即经过点，
故直线过定点．
21．【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）．
【解析】（1），．
因为是函数的极值点，所以，故．
令，解得或．
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2），
当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立，
当时，易知在上单调递增，
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾．
综上，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，则．
（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）或或，
解得，
不等式的解集为．
（2）由，有解，得有解，
令，
当时，显然单调递增，
当时，，求导得，
显然在时，，即在时，单调递增，
则，
，．
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