此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年下学期高三4月月考卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·维吾尔一模]已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．[2019·江西联考]已知复数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．[2019·金华期末]若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
4．[2019·郑州期末]的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2019·枣强中学]，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[2019·桂林调研]已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．[2019·江淮十校]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．225 B．75 C．275 D．300
8．[2019·临川一中]设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．[2019·东北育才]如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，
则该几何体的体积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
10．[2019·合肥一模]已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，
抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为（ ）
A． B．12 C． D．
11．[2019·太原期末]下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，必有
B．若，，对任意的，必有
C．若，，对任意的，必有
D．若，，总存在，当时，总有
12．[2019·江南十校]已知函数，（是自然对数的底数），
若对，，使得成立，则正数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·济宁一模]某学校从编号依次为01，02，，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．
14．[2019·蓉城期末]在一个边长为4的正方形中，若为边上的中点，为边上一点，且，则________．
15．[2019·大庆实验]已知函数在区间上恰有8个最大值，则的
取值范围是_________．
16．[2019·石家庄毕业]如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·龙岩质检]已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和．
18．（12分）[2019·河南名校]如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
19．（12分）[2019·云师附中]某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为一等品；指标在区间的为二等品现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：
（1）若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为，求的分布列及数学期望．
20．（12分）[2019·广安期末]已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点．
21．（12分）[2019·桂林调研]已知函数．
（1）求的极值；
（2）若关于的不等式在上的解集非空，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·十堰模拟]已知直线（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·马鞍山一模]已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
2018-2019学年下学期高三4月月考卷
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】集合，集合，则．
故答案为C．
2．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
3．【答案】C
【解析】
作出实数，满足约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由，得，由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，所以．故选C．
4．【答案】D
【解析】因为，所以，
由余弦定理，所以，故选D．
5．【答案】A
【解析】，为椭圆的两个焦点，可得，，，．
点在椭圆上，且线段的中点在轴上，，由椭圆的定义可知，，故选A．
6．【答案】A
【解析】因为，
又因为，所以，
则有
，故选A．
7．【答案】D
【解析】由程序，可得，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，，
不满足条件，退出循环，输出的值为300．故选D．
8．【答案】A
【解析】由于，，，故，，故，
而，故，所以，故选A．
9．【答案】A
【解析】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为，故选A．
10．【答案】A
【解析】设直线的方程为，
与联立可得，，
∵，，，则，
可得，，
四边形的面积为，故选A．
11．【答案】D
【解析】对于选项A，取，则，，不满足，
故A错误；
对于选项B，取，，，
则，，故选项B错误；
对于选项C，取，则，故选项C错误；
故选项D一定正确．（选项D中，，可知和都是增函数，同时二者图象关于直线对称，而函数，也是增函数，当足够大时，指数函数的增长速度最大，对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有．）
12．【答案】C
【解析】“，，使得成立”等价于，
，
当时，令，解得，，
在上单调递减，上单调递增，
当时，令，解得，
在上单调递减，上单调递增，
，
当时，此时在上单调递增，上单调递增减，
，，无最小值，不合题意，
综上所述，，
，
令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，本题正确选项C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】32
【解析】样本间隔为，则第一个编号为5，第四个编号为，
故答案为32．
14．【答案】
【解析】分别以，所在的直线为，轴建立直角坐标系，
则由题意可得，，，，，
，，
∴，故答案为．
15．【答案】
【解析】因为，，所以，
又函数在区间上恰有8个最大值，所以，得．
16．【答案】
【解析】底面为菱形，为对角线与的交点，∴，
又底面，∴，，∴面，∴，
即三角形与均为直角三角形，∴斜边中点即为球心，
∵，，∴，∴，
故三棱锥的外接球的体积是，故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），∴，，∴，
则，，．
（2）由（1）可知，，
，
，
，
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵为中点，，∴．
又，∴四边形为平行四边形．
∵，为中点，∴，
∴四边形为矩形，∴．
由，得，
又，∴平面．
∵，∴平面．
又平面，∴，
∵，∴．
又，，∴平面．
∵平面，∴．
（2）由（1）知平面．
以为原点，为轴，为轴，平面内过点且与的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∵，∴．
又，，，∴．
∴点到轴的距离为1．
∴，同时知，．
又，，∴．
∴，．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则．
又，设直线与平面所成的角为．
则．
即直线与平面所成的角的正弦值为．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，
这100件样本零件中有一等品（件），
二等品（件），
所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．
记事件为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，
则．
（2）由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，
这100件样本零件中，一等品的频率为，
二等品的频率为；
将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，
则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数，
所以；；
；，
的分布列为：
0
1
2
3
所以数学期望为．
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线，当时，，，
由，得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得，，即恒成立．
即，即经过点，
故直线过定点．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，．
当时，即，，在上单调递增，
所以在上无极值．
当时，即，当时，；当时，，
∴当时，在上有极小值，，无极大值．
综上：当时，在上无极值；
当时，在上有极小值，，无极大值．
（2）设，则不等式在上的解集非空不等式在上的解集非空存在，使．
由（1）知．
①当时，即，当时，，在单调递减，
∴，即．
②当时，即，当时，，在单调递增，
∴，即．
③当时，即，当时，；当时，，
则在上单调递减，在单调递增．
∴，令，，
，，
∵，∴，∴，∴，
所以，
∴在不恒成立，故不存在，使，
综上可得，实数的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，则．
（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）或或，
解得，
不等式的解集为．
（2）由，有解，得有解，
令，
当时，显然单调递增，
当时，，求导得，
显然在时，，即在时，单调递增，
则，
，．
微信/支付宝扫码支付