此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年下学期高三4月月考卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·广安期末]已知集合，，则集合=（ ）
A． B． C． D．
2．[2019·齐齐哈尔一模]（ ）
A． B． C． D．
3．[2019·济宁一模]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：
①日成交量的中位数是16；
②日成交量超过日平均成交量的有2天；
③认购量与日期正相关；
④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．
则上述判断正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．[2019·乌鲁木齐一模]双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．[2019·浏阳一中]设，都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．[2019·桂林联考]已知等比数列的前项和，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
7．[2019·福建毕业]执行如图所示的程序框图，则输出的的值等于（ ）
A．3 B． C．21 D．
8．[2019·鹰潭期末]如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点，．交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．[2019·南昌一模]函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2019·大连一模]已知的内角，，所对边分别为，，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．[2019·南昌一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．[2019·汉中联考]已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·临川一中]设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的
投影为______．
14．[2019·榆林一中]设，满足约束条件，则的最大值为____．
15．[2019·湘潭一模]已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为____．
16．[2019·铜仁期末]已知函数，为的零点，
为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·新乡期末]已知数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）[2019·南昌一模]市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）
（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；
（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．
19．（12分）[2019·南开期末]如图所示，四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．
（1）求的长；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的度数．
20．（12分）[2019·临川一中]已知椭圆，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线．
（1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
21．（12分）[2019·东北三校]已知函数（为自然对数的底数），．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·大连一模]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，曲线的极坐标方程为．
（1）求与的交点到极点的距离；
（2）设与交于点，与交于点，当在上变化时，求的最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·东北三校]已知函数，．
（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设实数为（1）中的最大值，若实数，，满足，求
的最小值．
2018-2019学年下学期高三4月月考卷
理科数学答案
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】由题意；．故选A．
2．【答案】B
【解析】，故选B．
3．【答案】B
【解析】7天假期的楼房认购量为91、100、105、107、112、223、276；
成交量为8、13、16、26、32、38、166．
对于①，日成交量的中位数是26，故错；
对于②，日平均成交量为，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；
对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．
故选B．
4．【答案】D
【解析】根据题意，双曲线的方程为，
其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
则其焦点到渐近线的距离，故选D．
5．【答案】D
【解析】由，可得；
由，得．
所以当“”成立时，“”不成立；反之，当“”成立时，“”也不成立，
所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．故选D．
6．【答案】D
【解析】因为，所以时，，
两式相减，可得，，
，，
因为是等比数列，所以，
所以，，，，
所以，故选D．
7．【答案】B
【解析】由题意得，程序执行循环共六次，
依次是，；，；
，；，；
，；，，
故输出的值等于，故选B．
8．【答案】A
【解析】如图，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的交点，
由抛物线的定义，，，
因为，所以，所以，
，，
所以，即，
所以抛物线的方程为，故选A．
9．【答案】A
【解析】，
即，故为奇函数，排除C，D选项；
，排除B选项，故选A．
10．【答案】A
【解析】，，由，
根据正弦定理：可得，
所以，那么，故选A．
11．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，
则该几何体的体积为，故选D．
12．【答案】C
【解析】令，，．
当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立；
当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾，
综上，故答案为C．
二、填空题．
13．【答案】
【解析】由于，所以，即，，所以向量在向量方向上的投影为．
14．【答案】5
【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：
作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，
由，此时，故答案为5．
15．【答案】6
【解析】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，
因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，
设两圆半径为，，，
又，，，．这两个圆的半径之和为6．
16．【答案】5
【解析】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，所以，即，
验证，7，5，得知满足题意，所以的最大值为5．
三、解答题．
17．【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）证明：数列满足，，
可得，
即有数列是首项为2，公比为3的等比数列．
（2）由（1）可得，
即有，
数列的前项和．
18．【答案】（1）；（2）应选择型节能灯．
【解析】（1）由频率分布直方图可知，型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为，
用频率估计概率，得型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为．
所以一年内一支型节能灯在使用期间需更换的概率为，
所以一年内5支恰好更换了2支灯的概率为．
（2）共需要安装5支同种灯管，
若选择型节能灯，一年共需花费元；
若选择型节能灯，由于型节能灯一年内需更换服从二项分布，
故一年需更换灯的支数的期望为支，
故一年共需花费元．
因为，所以该商家应选择型节能灯．
19．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）四棱锥中，底面，，，
，，为上一点，且，
，，
．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，，，，
又，平面．
（3），，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的度数为，
则．，
二面角的度数为．
20．【答案】（1）；（2）以为直径的圆能过两定点、．
【解析】（1），得，所求椭圆方程．
（2）当直线斜率存在时，设直线，、，
直线，
令，得，同理，
以为直径的圆，
整理得①
，得，
，②
将②代入①整理得，令，得或．
当直线斜率不存在时，、、、，
以为直径的圆，也过点、两点，
综上：以为直径的圆能过两定点、．
21．【答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）当时，，，
令则列表如下：
1
0
单调递减
极小值
单调递增
所以．
（2）设，，
，，
设，，
由得，，，，在单调递增，
即在单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增，
又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意．
②当，即时，由（1）可知，
所以，，又，
故，，当时，，单调递减，
又，故当时，，
在内，关于的方程有一个实数解1．
又时，，单调递增，
且，令，
，，故在单调递增，
又，，，在单调递增，
故，故，
又，由零点存在定理可知，，，
故在内，关于的方程有一个实数解．
又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意．
综上，．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）联立曲线，的极坐标方程
得，解得，即交点到极点的距离为．
（2）曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为联立得，
即，
曲线与曲线的极坐标方程联立得，即，
所以，其中的终边经过点，
当，，即时，取得最大值为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为函数恒成立，
解得．
（2）由第一问可知，即，
由柯西不等式可得，
化简，
即，当且仅当时取等号，故最小值为．
微信/支付宝扫码支付