青浦区2017-2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷 2018.1
（完成时间：100分钟 满分：150分 ）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 计算的结果是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2. 如果一次函数的图像经过一、二、三象限，那么、应满足的条件是（▲）
（A），且；（B），且；（C），且；（D），且．
3. 下列各式中，的有理化因式是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
图1
4．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD =4，CD=6，那么
是（▲）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
图2
5. 如图2，在□ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（▲）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6. 在梯形ABCD中，AD//BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．因式分解： ▲ ．
8. 函数的定义域是 ▲ ．
9. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ▲ ．
10. 抛物线的对称轴是 ▲ ．
11. 将抛物线平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为 ▲ ．
12. 如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是 ▲ ．
13. 如图3，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所经过的路程是12米，此时物体离地面的高度是 ▲ 米．
14. 如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么 ▲ （结果用含、的式子表示）．
15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE//BC，如果BC=3DE，AC=6，那么AE= ▲ ．
16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么的值是 ▲ ．
17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是 ▲ ．
图3
图4
图5
18. 如图5，在△ABC中，AB=7，AC=6，，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算： ．
20.（本题满分10分）
解方程：．
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
图6
如图6，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A（，6）和点B（-3，），直线AB与轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求的值．
22．（本题满分10分）
图7
如图7，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD // AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是，顶部D的仰角是，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；
sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）
23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
图8
如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且．
（1）求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）若，求证：．
24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点
A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
图9
25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图10，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点
D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
图10
备用图
青浦区2017-2018学年第一学期九年级期末学业质量调研测试
数学参考答案 2018.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7． ； 8．； 9．； 10．直线或轴； 11．； 12．；13．6； 14．； 15．2； 16．； 17．； 18．．
三、（本大题7题，第19~22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19． 解：原式=．…………………………………………………………（8分）
=．………………………………………………………………………（2分）
20．解：方程两边同乘得 ．…………………………（4分）
整理，得．………………………………………………………………（2分）
解这个方程得，．…………………………………………………………（2分）
经检验，是增根，舍去．…………………………………………………………（1分）
所以，原方程的根是．……………………………………………………………（1分）
21. 解：
（1）∵点A（，6）和点B（-3，）在双曲线，∴m=1，n=-2．
∴点A（1，6），点B（-3，-2）．………………………………………………………（2分）
将点A、B代入直线，得解得 …………………（2分）
∴直线AB的表达式为：．…………………………………………………（1分）
（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N．……………………（1分）
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，……………………………………………（1分）
∴AM//BN， ………………………………………………………………………………（1分）
∴．…………………………………………………………………………（2分）
22．解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E．……………………………………………………（1分）
由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°．………………………………（1分）
在Rt△ADE中，∵，∴．………（3分）
在Rt△ACE中，∵，∴． ………（3分）
∴（米）．………………………………………………（2分）
答：建筑物CD的高度约为39米．
23．（1）证明：∵，∴， ………………………………………（1分）
∵∠ECA＝∠DCB，……………………………………………………………………（1分）
∴△CAE∽△CBD，……………………………………………………………………（1分）
∴∠CAE＝∠CBD．……………………………………………………………………（1分）
（2）证明：过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G．
∴，…………………………………………………………………………（1分）
∵，∴，……………………………………………………………（1分）
∴CG=CA， ……………………………………………………………………………（1分）
∴∠G＝∠CAG，………………………………………………………………………（1分）
∵∠G＝∠BAG，∴∠CAG＝∠BAG．………………………………………………（1分）
∵∠CAE＝∠CBD，∠AFD＝∠BFE，∴∠ADF＝∠BEF．…………………………（1分）
∴△ADF∽△AEB，……………………………………………………………………（1分）
∴，∴．…………………………………………………（1分）
24．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，得．…………………………………………………………（1分）
把点A（-1，0）代入，得，
∴．………………………………………………………………………………（1分）
∴C（0，-3a）．…………………………………………………………………………（1分）
（2）∵点A、B关于直线对称，∴点B的坐标为（3，0）．…………………………（1分）
∴AB=4，OC=3a．…………………………………………………………………………（1分）
∵，∴，
∴a=1，∴b=-2，c=-3，…………………………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………………………（1分）
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H．
∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，
∴QC=QG，QA=QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，
∴QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，∴OF= 2m+1，HF= 1．
Ⅰ.当∠CGF＝90°时，
可得∠FGH＝∠GQH＝∠OQC，
∴，∴，∴，
∴
∴Q的坐标为（9，0）．……………………………………………………………………（2分）
Ⅱ.当∠CFG＝90°时，
可得，，∴，∴，
∴，Q的坐标为（4，0）．……………………………………………………………（1分）
Ⅲ.当∠GCF＝90°时，
∵∠GCF
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