黄浦区2017-2018学年度第一学期九年级期终调研测试
数学试卷 2018年1月
（考试时间：100分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．已知二次函数的图像大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为，则原来抛物线的表达式为（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
3．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（ ▲ ）
（A）OC=1，OD=2，OA=3，OB=4； （B）OA=1，AC=2，AB=3，BD=4；
（C）OC=1，OA=2，CD=3，OB=4； （D）OC=1，OA=2，AB=3，CD=4．
5．如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令，则=（ ▲ ）
（A）1； （B）； （C）； （D）2．
6．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC.现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ▲ ）
（A）20°； （B）40°； （C）60°； （D）80°．
E
D
C
B
A
F
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知a、b、c满足，则= ▲ ．
8．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，
（第8题）
EF∥AB，如果AD∶DB=3∶2，那么BF∶FC= ▲ ．
9．已知向量为单位向量，如果向量与向量方向相反，且长度为3，那么向量= ▲ ．（用单位向量表示）
10．已知△ABC ∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C= ▲ 度.
11．已知锐角，满足tan=2，则sin= ▲ ．
12．已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB=AC=8千米，那么 BC= ▲ 千米．
13．已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 ▲ （表示为的形式）．
14．已知抛物线开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变 ▲ ．（填“大”或“小”）
15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.已知AC=6，AB=8，BC=10，设EF=x，矩形DEFG的面积为y，则y关于x的函数关系式为 ▲ ．（不必写出定义域）
G
C
A
B
B
D
F
E
C
A
G
（第15题） （第16题）
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，将△ABC平移使其顶点C位于△ABC的重心G处，则平移后所得三角形与原△ABC的重叠部分面积是 ▲ ．
A
G
F
E
D
C
B
17．如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，点F在边CD的延长线上，EF与AC交于点O， 若CE∶EB=1∶2，BC∶AB=3∶4，AE⊥AF，则CO∶OA= ▲ ．
D
O
E
C
B
A
F
（第17题） （第18题）
18．如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF= ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：.
20．（本题满分10分）
用配方法把二次函数化为
的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
21．（本题满分10分）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E.
E
D
C
B
A
（1）求tan∠ACE的值；
（2）求AE∶EB.
22．（本题满分10分）
如图，坡AB的坡比为1∶2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT.在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上.
（1）试问坡AB的高BT为多少米？
N
M
D
C
B
A
H
T
（2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH.（精确到米，1.73，1.41）
23．（本题满分12分）
如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项.
E
D
C
B
A
（1）求证：∠CDE=∠ABC；
（2）求证：AD•CD=AB•CE.
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线过点（﹣2，0）.
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式.
O
x
y
25．（本题满分14分）
如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）.
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.
B
E
D
P
C
A
P
D
B
A
黄浦区2017-2018学年度第一学期九年级期终调研测试评分标准参考
一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）
1.D ； 2.C ； 3.B； 4.C； 5.B； 6.B.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8．3∶2； 9．； 10．80；
11．； 12．8； 13．等； 14．大；
15．； 16．3； 17．11∶30； 18．．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式=———————————————————（4分）
=————————————————————————（4分）
=—————————————————————————————（2分）
20. 解：
=————————————————————（3分）
=—————————————（2分）
开口向下，对称轴为直线，顶点————————————（5分）
21. 解：（1）由∠ACB=90°，CE⊥BD，
得∠ACE=∠CBD.———————————————————————（2分）
在△BCD中，BC=3，CD=AC=2，∠BCD=90°，
得tan∠CBD=，———————————————————————（2分）
即tan∠ACE=.———————————————————————（1分）
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，—————————————（1分）
则在△CAP中，CA=4，∠CAP=90°，tan∠ACP=，
得AP=，——————————————————————（2分）
又∠ACB=90°，∠CAP=90°，得BC∥AP，
得AE∶EB=AP∶BC=8∶9. —————————————————（2分）
22. 解：（1）在△ABT中，∠ATB=90°，BT∶AT=1∶2.4，AB=130，——————（1分）
令TB=h，则AT=2.4h，————————————————————（1分）
有，————————————————————（1分）
解得h=50（舍负）.——————————————————————（1分）
答：坡AB的高BT为50米. —————————————————————（1分）
（2）作DK⊥MN于K，作DL⊥CH于L，
在△ADK中，AD=AB=65，KD=BT=25，得AK=60，——————（1分）
在△DCL中，∠CDL=30°，令CL=x，得LD=，———————（1分）
易知四边形DLHK是矩形，则LH=DK，LD=HK，
在△ACH中，∠CAH=60°，CH=x+25，得AH=，—————（1分）
所以，解得，—————（1分）
则CH=.—————————————————（1分）
答：建筑物高度为89米.
23. 证：（1）∵BD是AB与BE的比例中项，
∴，————————————————————————（1分）
又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE， ——————————（1分）
∴△ABD∽△DBE，——————————————————————（2分）
∴∠A=∠BDE. ———————————————————————（1分）
又∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠CDE=∠ABD=∠ABC，即证. ———————————————（1分）
（2）∵∠CDE=∠CBD，∠C=∠C, ——————————————————（1分）
∴△CDE∽△CBD，——————————————————————（1分）
∴.————————————————————————（1分）
又△ABD∽△DBE，
∴—————————————————————————（1分）
∴，————————————————————————（1分）
∴.———— —————————————————（1分）
24. 解：（1）由题意得：，—————————————————（2分）
解得：，—————————————————————————（1分）
所以抛物线的表达式为，其顶点为（1,9）. —————（2分）
（2）令平移后抛物线为，——————————————（1分）
易得D（1，k），B（0，k-1），且，
由BC平行于x轴，知点C与点B关于对称轴x=1对称，得C（2，k-1）. （1分）
由，解得（舍正），即.————（2分）
作DH⊥BC于H，CT⊥x轴于T，
则在△DBH中，HB=HD=1，∠DHB=90°，
又AC∥BD，得△CTA∽△DHB，
所以CT=AT，即，————————————————（2分）
解得k=4,
所以平移后抛物线表达式为. —————（1分）
25. 解：（1）过C作CH⊥AB与H，—————————————————（1分）
由∠A=90°，DP∥AB，得四边形ADCH为矩形.
在△BCH中，CH=AD=4，∠BHC=90°，tan∠CBH=2，得HB=CH÷2=2，（1分）
所以CD=AH=5-2=3，———————————————————————（1分）
则四边形ABCD的面积=.———（1分）
（2）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠EBC，
当△ABE∽△EBC时，
① ∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA，得BC=BA=5，
于是在△BCH中，BH=，
所以CD=AH=5-3=2. ———————————————————————（2分）
② ∠BEC=∠BAE=90°，延长CE交BA延长线于T，
由∠ABE=∠EBC，∠BEC=∠BET=90°，BE=BE，得△BEC≌△BET，得BC=BT，
且CE=TE，又CD∥AT，得AT=CD.
令CD=x，则在△BCH中，BC=BT=5+x，BH=5-x，∠BHC=90°，
所以，即，解得.———（2分）
综上，当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或.—————————（1分）
（3）延长BE交CD延长线于M，——————————————————（1分）
由AB∥CD，得∠M=∠ABE=∠CBM，所以CM=CB.
在△BCH中，.
则DM=CM-CD=，
又DM∥AB，得，即，————（2分）
解得——————————（2分）
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