平谷区2017～2018学年度第一学期期末质量监控试卷
初 三 数 学2018年1月
考生须知
1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上作答．
2．答题前，在答题卡上考生务必将学校、班级、准考证号、姓名填写清楚．
3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B铅笔．
4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．已知，则的值是
（A）（B）（C）（D）
2．如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）8
3．下列各点在函数图象上的是
（A）（0,0）（B）（1,1）（C）（0,﹣1）（D）（1,0）
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是
（A）（B）（C）（D）
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB的值是
（A）（B）（C）（D）
6．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是
（A）100°（B）80°（C）50°（D）40°
7．反比例函数的图象上有两点，，若x1＞x2，x1x2＞0，
则y1－y2的值是
（A）正数（B）负数（C）0（D）非负数
8．如图，在平面直角坐标系中，点A（1,1），B（﹣1,1），C（﹣1,﹣2），D（1,﹣2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是
（A）（1,1）（B）（﹣1,1）
（C）（﹣1,﹣2）（D）（1,﹣2）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．将二次函数化为的形式，则h=，k=．
10．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是cm（结果不取近似值）．
11．请写出一个过点（1,1），且与x轴无交点的函数表达式 ．
12．已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积是．
13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．
14．关于x的二次函数（a＞0）的图象与x轴的交点情况是．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．
16．下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：．
18．如图，函数的图象经过点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
19．如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．
21．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与直线y=2x﹣2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a>0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x﹣2于点M，交函数y=的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，结合图象，直接写出a的取值范围．
23．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作
EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=．求AF的长．
24．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线相交时（原点除外），∠BAC的度数是．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
26．已知函数的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
备用图
图1
28．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．
①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
平谷区2017～2018学年度第一学期期末初三数学答案及评分参考
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
D
A
C
B
B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．1；2；10．4π；11．答案不唯一，如：； 12．；
13．；
14．答案不唯一，如：△ABC绕点O逆时针旋转90°；15．有两个不同交点；
16．答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题5分，第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：原式= 4
=． 5
18．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1,0），B（0,3），
∴． 2
解得． 4
（2）图略． 5
19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD． 1
∴∠A=∠ACD． 2
∴△ABO∽△CDO． 3
∴． 4
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，
∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，
∴CD=．
∴． 5
20．解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°． 1
∵AB=4，
∴OC=2． 2
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=CD． 3
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1． 4
∴CD=2． 5
21．解：如图， 1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠=16°，AB=700，由sin，
可求BC的长． 2
即BC=AB·sin=700sin16°，
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，
可求DE的长． 3
即DE=BD·sinβ=700sin20°，
由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°， 4
FH=AG=126．
从而，可求得DH的长． 5
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
22．解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点Q（2，m），
∴m=2． 1
∴Q（2，2）．
∵函数y=经过点Q（2，2），
∴k=4． 2
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵反比例函数的表达式为y=． 3
∴M（4,6），N（4,1）．
∴MN=5． 4 ②∵PM＞PN，
∴a＞2． 5
23．解：方法一：
∵□ABCD，
∴AD∥BC，OD=BD=． 1
∵∠CBD=30°，
∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，
∴∠DOF=90°．
在Rt△ODF中，tan30°=，
∴OF=3． 2
∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G．
∴△AEF∽△GOF．
∴．
∵EF=OF，
∴AF=GF．
∵O是BD中点，
∴G是AD中点． 3
设AF=GF=x，则AD=6+x．
∴AG=． 4
解得x=2．
∴AF=2． 5
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，
OH=OF． 3
∵AD∥BC，
∴△EAF∽△EBH．
∴．
∵EF=OF，
∴． 4
由方法一的方法，可求BH=6．
∴AF=2．
24．解：（1）m=2.76； 1
（2）如图； 4
（3）如图． 5
∠BAC =30°． 6
25．（1）证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC． 1
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°． 2
即OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切线． 3
（2）解：∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA．
∴． 4
∵AC=2，AB=6，
∴设OD=r，则BO=6﹣r．
∴．
解得r=．
∴AE=3．
∴BE=3． 5
26．解：（1）
1
∴D（m,）． 2
（2）令y=0，得．
解得．
∴函数的图象与x轴的交点坐标（0,0）,（2m,0）． 4
（3）方法一：∵函数的图象在直线y=m的上方，
∴顶点D在直线y=m的上方． 5
∴＞m． 6
即＜0．
由y=的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0． 7
方法二：∵函数的图象在直线y=m的上方，
∴＞m． 5
∴当=m时，抛物线和直线有唯一交点．
∴
=．
解得． 6
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0． 7
27．解：（1）如图 1
（2）BD和CE的数量是：BD=CE ； 2
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE． 3
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE． 4
（3）PB的长是或． 7
28．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； 2
（2）①连结MN，
∵OM=ON=4，
∴Rt△OMN是等腰直角三角形．
过O作OA⊥MN于点A，
∴点M,N关于直线OA对称． 3
由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上． 4
∴圆心P所在直线的表达式为y=x． 5
②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=； 6
当点M,N重合时，即点M,N横纵坐标相等，所以m－n=0； 7
∴m－n的取值范围是0＜m－n≤． 8
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