资阳市高中2015级第二次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A. B. C. D.
2．复数z满足，则
A. B. C. D.
3．已知命题p：，；命题q：，，则
A.“”是假命题 B.“”是真命题
C.“”是真命题 D.“”是假命题
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
5．设实数满足则的最小值为
A. －5 B.－4 C.－3 D.－1
6．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是
A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果
7．某程序框图如图所示，若输入的分别为12，30，则输出的
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为
A. B.
C. D.
9．在三棱锥中，底面ABC，，，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
A. B. C. D.
10．过抛物线C1：焦点的直线l交C1于M，N两点，若C1在点M，N处的切线分别与双曲线C2：的渐近线平行，则双曲线C2的离心率为
A. B. C. D.
11. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为
A. B. C. D.
12．已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：
① 函数的周期可以为；
② 函数可以为偶函数，也可以为奇函数；
③ 若，则可取的最小正数为10．
其中正确结论的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中的系数为 .
14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
15．如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 m.
16．已知函数如果使等式成立的实数分别都有3个，而使该等式成立的实数仅有2个，则的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求成立的正整数的最小值.
18．（12分）
某地区某农产品近几年的产量统计如下表：
年 份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代码t
1
2
3
4
5
6
年产量y（万吨）
6.6
6.7
7
7.1
7.2
7.4
（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；
（2）若近几年该农产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完．
① 根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018（）年该农产品的产量；
② 当（）为何值时，销售额最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
19.（12分）
如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，E，F分别为AC，的中点.
（1）求证：直线EF∥平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆C：的离心率，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．
① 求证：直线MN的斜率为定值；
② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当有两个极值点时，
① 求a的取值范围；
② 若的极大值小于整数m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上的一动点，的中点为，求点到直线的最小值．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数（其中）．
（1）当a＝－4时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
资阳市高中2015级第二次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
13. 35；14. ；15. 12；12. ．
三、解答题：本大题共70分。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
（1）当时，，解得，
当时，，. 则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列.
故. 4分
（2）,
则①
②
①－②得：.
所以．
由得.
由于时，；时，.
故使成立的正整数的最小值为. 12分
18．（12分）
（1）由题，，，
，
．
所以，又，得，
所以y关于t的线性回归方程为． 6分
（2）① 由（1）知，当时，，
即2018年该农产品的产量为7.56万吨．
② 当年产量为y时，销售额（万元），
当时，函数S取得最大值，又因，
计算得当，即时，即2018年销售额最大. 12分
19.（12分）
（1）取的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，的中点，
所以FG∥．又平面，平面，
所以FG∥平面．又AE∥且AE＝，
所以四边形是平行四边形．
则∥．又平面，平面，
所以EG∥平面．
所以平面EFG∥平面．又平面，
所以直线EF∥平面． 6分
（2）令AA1＝A1C＝AC＝2，
由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E平面A1AC，
则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0)，．
所以，，，
令平面A1BC的法向量为，
由则令，则．
令平面B1BC的法向量为，
由则令，则．
由，故二面角的余弦值为. 12分
20.（12分）
（1）由，设椭圆的半焦距为，所以，
因为C过点，所以，又，解得，
所以椭圆方程为． 4分
（2）① 显然两直线的斜率存在，设为，，
由于直线与圆相切，则有，
直线的方程为， 联立方程组
消去，得，
因为为直线与椭圆的交点，所以，
同理，当与椭圆相交时，，
所以，而，
所以直线的斜率．
② 设直线的方程为，联立方程组
消去得，
所以，原点到直线的距离，
得面积为，
当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．
所以面积的最大值为． 12分
21．（12分）
（1）由题．
方法1：由于，，，
又，所以，从而，
于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分
方法2：令，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数．
故在时取得极大值，也即为最大值．
则．由于，所以，
于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分
（2）令，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数．
当x趋近于时，趋近于．
由于有两个极值点，所以有两不等实根，
即有两不等实数根（）．
则解得．
可知，由于，则．
而，即（#）
所以，于是，（*）
令，则（*）可变为，
可得，而，则有，
下面再说明对于任意，，．
又由（#）得，把它代入（*）得，
所以当时，恒成立，
故为的减函数，所以． 12分
所以满足题意的整数m的最小值为3.
（二）选考题：共10分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
（1）由得的普通方程．
又由，得，
所以，曲线的直角坐标方程为，即． 4分
（2）设，，则，
由于P是的中点，则，所以，
得点的轨迹方程为，轨迹为以为圆心，1为半径的圆．
圆心到直线的距离．
所以点到直线的最小值为． 10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
（1）当a=－4时，求不等式，即为，
所以|x－2|≥2，即x－2≤－2或x－2≥2，
原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}． 4分
（2）不等式即为|2x+a|+|x－2|≥3a²－|2－x |，
即关于x的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a²恒成立．
而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|，
所以|a＋4|≥3a²，
解得a＋4≥3a²或a＋4≤－3a²，
解得或．
所以a的取值范围是． 10分
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