2017年高二年级第5次月考试题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，.命题若，则，下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2.设命题函数为奇函数；命题，，则下列命题为假命题的是（ ）
A． B． C． D．
3.设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.椭圆的一个焦点为，为椭圆上一点，且，是线段的中点，则（为坐标原点）为（ ）
A．3 B．2 C.4 D．8
6.椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（ ）
A． 2 B． 4 C. 1 D．
7.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C. D．
8.已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．6 B．8 C.10 D．12
9.若点到点的距离比它到直线的距离小于1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C. D．
10.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点.若等边的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C. D．
11.一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（ ）
A． B． C. D．
12.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且
到两焦点的距离之差为2，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C. 斜三角形 D．钝角三角形
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设两个命题，关于的不等式（且）的解集是；函数的定义域为.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ．
14.若椭圆两焦点为，，点在椭圆上，且的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ．
15.已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为 ．
16.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.
18. 已知函数（且）是定义在实数集上的奇函数，且
（1）试求不等式的解集；
（2）当且时，设命题实数满足，命题函数在上单调递减；若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.
19. 已知椭圆的两个焦点是，，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过左焦点且倾斜角为45°的直线与椭圆交于两点，求线段的长.
20. 已知抛物线的标准方程是.
（1）求它的焦点坐标和准线方程；
（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为，求的长度.
21. 已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.
22.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为.
（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.
高二文数月考
参考答案与试题解析
1-5 BCACC 6-10 BACCA 11-12 AA
13． 或a≥1． 14 . 15． ．
16． 1＜k＜2．
17．解：∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．
又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．
即q：0＜c≤，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．
又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，
∴p真q假，或p假q真．
①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．
综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．
18．解：（Ⅰ）因为∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，
当k=1时f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），
满足∵f（x）是定义在R上的奇函数，
又∵f（1）＞0，∴，又a＞0故a＞1，…（3分）
易知f（x）在R上单调递增，原不等式化为：，
所以，即，解得x＜；
∴不等式的解集为或．…（6分）
（Ⅱ）若p为真，由（Ⅰ）得b＞或0＜b＜，
若q为真，则0＜b＜1；…（8分）
依题意得，p、p一真一假，
（1）当p真q假，则；
（2）当p假q真，则；
综上，b的取值范围是．…（12分）
19．解：（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，
可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
是椭圆短轴的一个顶点，可得，
由题意可得c=2，即有a==3，
则椭圆C的标准方程为；
（2）由已知得，直线l斜率k=tan45°=1，而F1（﹣2，0），
所以直线l方程为：y=x+2，
代入方程，得5x2+9（x+2）2=45，即14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
则
=．
20．解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=
∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，
（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，
∴直线L的方程为y=x﹣，
代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，
所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．
21．解：（1）∵实轴长为2，一个焦点的坐标为，
∴，得，，
∴b2=c2﹣a2=2，
∴双曲线C 的方程为．
（2）设直线l 的方程为y=2x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得10x2+12mx+3（m2+2）=0，
∴△=24（m2﹣10）＞0，得，
∴弦长，解得，
∴直线l 的方程为 或．
22. 解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，
∴p=2，M（0，1）
斜率不存在时，x=0，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；
k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，
综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；
（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，
∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．
高二文数月考
参考答案与试题解析
1-5 BCACC 6-10 BACCA 11-12 AA
13． 或a≥1． 14 . 15． ．
16． 1＜k＜2．
17．解：∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．
又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．
即q：0＜c≤，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．
又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，
∴p真q假，或p假q真．
①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．
综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．
18．解：（Ⅰ）因为∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，
当k=1时f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），
满足∵f（x）是定义在R上的奇函数，
又∵f（1）＞0，∴，又a＞0故a＞1，…（3分）
易知f（x）在R上单调递增，原不等式化为：，
所以，即，解得x＜；
∴不等式的解集为或．…（6分）
（Ⅱ）若p为真，由（Ⅰ）得b＞或0＜b＜，
若q为真，则0＜b＜1；…（8分）
依题意得，p、p一真一假，
（1）当p真q假，则；
（2）当p假q真，则；
综上，b的取值范围是．…（12分）
19．解：（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，
可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
是椭圆短轴的一个顶点，可得，
由题意可得c=2，即有a==3，
则椭圆C的标准方程为；
（2）由已知得，直线l斜率k=tan45°=1，而F1（﹣2，0），
所以直线l方程为：y=x+2，
代入方程，得5x2+9（x+2）2=45，即14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
则
=．
20．解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=
∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，
（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，
∴直线L的方程为y=x﹣，
代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，
所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．
21．解：（1）∵实轴长为2，一个焦点的坐标为，
∴，得，，
∴b2=c2﹣a2=2，
∴双曲线C 的方程为．
（2）设直线l 的方程为y=2x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得10x2+12mx+3（m2+2）=0，
∴△=24（m2﹣10）＞0，得，
∴弦长，解得，
∴直线l 的方程为 或．
22. 解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，
∴p=2，M（0，1）
斜率不存在时，x=0，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；
k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，
综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；
（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，
∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．
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