河北省阜城中学2017-2018学年高二上学期第五次月考数学（理）试题Word版含答案.doc

‎2017学年高二年级第五次月考试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A．对任意，都有 B．不存在，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于点，过与原点的直线交椭圆于另一点，则的周长为（ ）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎5．某种商品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ）‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎8．执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．98 B．99 C．100 D．101‎ ‎9．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．96 B． C． D．‎ ‎10．如下图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，．若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，若以为直径的圆过点，且与轴交于，两点，则（ ）‎ A．3 B．2 C．-3 D．-2‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．如果函数,的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是 ．‎ ‎14．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎15．点是曲线上任意一点，则点到直线 的距离的最小值是 ．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.‎ ‎18． 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面．‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得面，并证明你的结论．‎ ‎19． 已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，且 ‎（1）椭圆的方程 ‎（2）求的面积；‎ ‎20．‎ ‎ 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，‎ ‎（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及均值．‎ ‎21． 已知椭圆的离心率为，且过点，是椭圆上异于长轴端点的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．‎ ‎2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:DDACD 6-10:DBCCD 11、12：CC 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题知椭圆的焦点在轴上，且，‎ 又，故，‎ 故椭圆的方程为，即.‎ ‎（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入，‎ 消去，整理得.‎ 设两点坐标分别为，.‎ 则 由线段中点的横坐标是，得，‎ 解得，符合（*）式.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎18．解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，‎ 又∵是正方形，∴，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，‎ ‎∵与平面所成角为60°，即，‎ ‎∴，‎ 由，可知：，．‎ 则，，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即，令，则．‎ 因为平面，所以为平面的法向量，∴，‎ 所以．因为二面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）依题意得，设，则，‎ ‎∵平面，∴，即，解得：，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 此时，∴点是线段靠近点的三等分点．‎ ‎19．解：（1）由已知，∴，∴‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）设，，则的坐标满足 消去化简得，，‎ ‎，得 ‎,‎ ‎.‎ ‎，，即 ‎∴‎ ‎，‎ 到直线的距离 ‎∴,‎ ‎.‎ ‎20．解：（1）∵小矩形的面积等于频率，‎ ‎∴除外的频率和为0.70，‎ ‎∴.‎ 故500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）．‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．‎ 故的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.‎ ‎21．解：（1）依题意解得 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线与轴相交于点 ‎，，‎ 由于且，‎ 得，（舍去）或，‎ 即直线经过点，‎ 设，，的直线方程为：，‎ 由即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，所以，‎ 因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，‎ 所以，所以（当且仅当，即时“”成立），‎ 故的最大值为3.‎ ‎22．解：（1）∵椭圆过点，∴①，‎ ‎∵，∴，则，∴②，‎ 由①②得，，‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 由得 得，‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，，，‎ ‎，‎ 得，，‎ ‎，‎ 即，‎ 由，，‎ 即．‎ 故直线过定点．‎ ‎2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A C D D B C C D C C 二、 填空题 ‎13、 14、‎ ‎15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、解析：（1）由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a＝，‎ 又c＝ea＝×＝，故b＝＝＝，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1，即x2＋3y2＝5。‎ ‎18、解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，‎ 又∵是正方形，∴，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，‎ ‎∵与平面所成角为，即，‎ ‎∴，‎ 由，可知：，．‎ 则，，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即， 令，则．‎ 因为平面，所以为平面的法向量， ∴，‎ 所以．因为二面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）依题意得，设，则，‎ ‎∵平面，∴，即，解得：，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 此时，∴点是线段靠近点的三等分点．‎ ‎19、【解析】（1）由已知 ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设A（，B，则, 的坐标满足 消去化简得， ， ‎ ‎， 得 ‎,‎ ‎.‎ ‎， ，即 即,=.‎ O到直线的距离 ‎,‎ ‎.‎ ‎20、【解析】 （1）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴x＝＝0.06.‎ 故500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500＝150（人）．‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．‎ 故X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎（1）依题意解得 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线与轴相交于点 ， ，‎ 由于且，得， （舍去）或，‎ 即直线经过点，‎ 设， ， 的直线方程为： ，‎ 由即，， ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 令，所以，‎ 因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，‎ 所以，所以（当且仅当，即时“”成立），‎ 故的最大值为3.‎ ‎22.试题解析：（1）∵椭圆过点，∴① ，‎ ‎∵，∴，则，∴②，由①②得，‎ ‎∴椭圆的方程为 得，‎ ‎，‎ 即，‎ 由，‎ 即．‎ 故直线过定点．‎