福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学（理）试题PDF版含答案.pdf

高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 1 页 厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1~5： 6~10： 11~12： 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．本题考查三角函数定义、图形分析、余弦定理、图形的分割、三角恒等变换、辅助角公式、三 角函数有界性等基础知识。本题考查学生三角函数概念的形成过程、图象分析能力、运算求解 能力，其中渗透静止与运动观点、化归与转化、数形结合的思想。 解：（1）由点 C 在单位圆上，可知 , 1 分 由图象可得 ； 2 分 在 中， , , ； 3 分 由余弦定理得 ； 4 分 解得 ； 5 分 （2）设 , 6 分 ， 7 分 四边形 的面积 = + 8 分 10 分 , ; 11 分 当 ，即 时，四边形 的面积 的最大值为 . 12 分 （其他解法酌情给分）高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 2 页 18．本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质，线面角的定义以及二面角的求法， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力． 证明：（1）∵ 平面 平面 ， ，平面 平面 ∴ 平面 ， 2 分 又 平面 ，∴ ， 3 分 又∵ ，且 ， ∴ 平面 ． 5 分 解：（2）法一：设 ，∵ 四边形 为等腰梯形， ， ， ∴ ， ， ∵ ，∴ 四边形 为平行四边形， ∴ ， 6 分 又∵ 平面 ，∴ 平面 ． ∴ 为 与平面 所成的角， ∴ ， 7 分 又∵ ，∴ 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 8 分 ∵ 平面 ，∴ 平面 的法向量为 ， 9 分 设平面 的一个法向量为 ，由 得 令 得， ， 10 分 ． 11 分 ∴ 二面角 的余弦值为 ． 12 分 法二：同法一得 平面 ， . 7 分 过 作 ，垂足为点 ，连结 ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， 8 分 又∵ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， 故 即为二面角 的平面角． 9 分高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 3 页 在 中，求得 ， 10 分 ∴ ， ∴ ．∴ 二面角 的余弦值为 ． 12 分 19．本题考查数列等差数列，通项公式 与前 项和 关系，数列并项求和方法，裂项相消法； 考查计算求解能力、推理论证能力；考查方程思想. 解：法一：（1）由已知： 当 时， ①，即 1 分 当 时， ② ②－①，得 ；即 2 分 设等差数列 公差为 ，由 ，有 3 分 因为 ，解得 ， 5 分 则 6 分 （1）法二：设等差数列 公差为 ， ， 2 分 3 分 ，则 ， ，因为 ， 5 分高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 4 页 解得 ，则 且 6 分 （2）由已知： ③ 当 时， ④ ③－④，得：当 时 ，即 ， 7 分 结合 ，得： （ ） 8 分 10 分 11 分 12 分 20．本题考查椭圆的定义、图形的分析、图形的分割、图像的运动过程中的不变量，面积的求解等 基础知识。本题考查学生圆锥曲线的概念的形成过程、图形分析能力、运算求解能力，其中渗透静 止与运动观点、化归与转化、函数方程、数形结合的思想。 解：（1）由已知得： ,所以 2 分 又 ，所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长等于 4 的椭圆， 所以点 的轨迹方程是 . 4 分 （2）设直线 AB： ， ， ，则 ， 联立直线 AB 与椭圆得 ，得 ， 6 分高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 5 页 ，所以直线 ， 所以令 ，得 ， 8 分 ， 所以直线 过定点 ， 10 分 所以 的面 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 面积的最大值是 ． 12 分 21．本小题考查函数与导数、不等式性质等基本知识，考查数学运算能力，推理论证能力，考查数 形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想．考查数学运算、直观想象等数学核心素养． 解：（1）由题意， 1 分 ． 2 分 （ⅰ）当 时， ，令 ，得 ； ，得 ， 所以 在 单调递增， 单调递减． 所以 的极大值为 ，不合题意. 3 分 （ⅱ）当 时， ,令 ，得 ； ，得 或 ， 所以 在 单调递增， 单调递减． 4 分 所以 的极大值为 ，得 . 5 分 综上所述 . （2）令 ，当 时， ， 则 对 恒成立等价于 ， 即 ，对 恒成立． 7 分 （ⅰ）当 时， ， ， ，此时 ，高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 6 页 不合题意. 9 分 （ⅱ）当 时，令 ， 则 ，其中 ， 令 ，则 在区间 上单调递增． 10 分 ① 时， ， 所以对 ，从而 在 上单调递增， 所以对任意 ， ， 即不等式 在 上恒成立． 11 分 ② 时，由 及 在区间 上单调递增， 所以存在唯一的 使得 ，且 时， ． 从而 时， ，所以 在区间 上单调递减， 则 时， ，即 ，不符合题意． 12 分 综上所述， ． 22．本题考查曲线的极坐标的概念、方程等基本知识，考查参数方程、普通方程及极坐标方程之间 的互化，考查运算求解的能力，及数形结合、化归转化的数学思想方法。 解：（1）将 的方程化为直角坐标方程： ，即 ． 2 分 将 代入可得 4 分 化简得 5 分 （化为 ， 均可给分） （2）根据题意：射线 的极坐标方程为 ．或 6 分 ， 7 分 则 ， 9 分高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 7 页 当且仅当 ，即 时，取得最小值 ． 10 分 故 的最小值为 ． 23．考查绝对值不等式的性质、解法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归转化， 分类与整理的数学思想。 解：（1）依题意： 2 分 ， 4 分 当且仅当 ，即 时，等号成立． 5 分 （2）①当 ，即 时， 则当 时， ，故 ． 7 分 ②当 ，即 时， 则当 时， ，故 ． 8 分 ③当 时，即 时， 有最小值 ，不符合题意，舍去． 9 分 综上所述： 或 ． 10 分