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重庆市重点中学2018级“九校联盟”第一次联合考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，且，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3. 的值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A． 1 B． C. D．0
5.双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．
6.某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C. D．
7.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）
A． B．
C. D．
8.执行如图所示的程序框图，若输出的，则的所有可能取之和等于（ ）
A． 19 B．21 C. 23 D．25
9.已知抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A． B． C. D．1
10.已知分别是内角的对边，，当时，面积的最大值为（ ）
A． B． C. D．
11.设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）
A． B．
C. D．
12.设，则的最小值为（ ）
A． 3 B． 4 C. 9 D．16
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，且，则 ．
14.已知实数满足，则目标函数的最大值为 ．
15.已知奇函数的图像关于直线对称，当时，，则 ．
16.半径为的球放置在水平平面上，点位于球的正上方，且到球表面的最小距离为，则从点发出的光线在平面上形成的球的中心投影的面积等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照、、…、从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；
（3）在、这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
19. 如图，直三棱柱中，侧面是正方形，.
（1）证明：；
（2）当三棱锥的体积为2，时，求点到平面的距离.
20. 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上都不与重合的两点，记直线的斜率分别是.
（1）求证：；
（2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
21. 设函数.
（1）当时，证明：，；
（2）若，都成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线和圆的直角坐标方程；
（2）设点，直线与圆交于两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于任意，有，，求证：.
试卷答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
A
D
B
D
B
C
A
C
【解析】
1．由或，故x的可取值为−1，2，，故选D．
2．由，复数z对应的点位于第二象限，故选B．
3．，故选B．
4．事件与事件是对立事件，，故选C．
5．易知双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率，故选A．
6．其体积为，故选D．
7．函数经伸长变换得，再作平移变换得 ，故选B．
8．N的可取值有且只有12，13，其和为25，故选D．
9．依题意得，故选B．
10．由，故（当且仅当时取等号），故选C．
11．由，，故，即 ，故选A．
12．其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[来源:]
题号
13
14
15
16
答案
[来源:]
【解析】
13．由，故．
14．由可行域知其最优解对应的点为，故．
15．依题意知的最小正周期是12，故，
即．
16．轴截面如图1所示，，中心投影的面积为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），设公差为d，
，，成等比数列（舍去）．
．
（Ⅱ），
．
．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知，
平均户外“活动时间”在的频率为．
同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，
由．
解得．
（Ⅱ）设中位数为m小时．
因为前5组的频率之和为，
而前4组的频率之和为，所以．
由，解得．
故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．
（Ⅲ）由题意得平均户外活动时间在，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共21种，同时在同一组的有，，，，，，，，．共9种，
故其概率是．
19．
（Ⅰ）证明：如图2，
由是正方形得，
在直三棱柱中，，又，
故平面，且平面，
故，且，
故平面，且平面，
故．
（Ⅱ）解：依题意得．
如图，设，连接，则，
设点到平面的距离为d，
则，
由对称性知：点C到平面的距离为．
20．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）设，，，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．
设，直线PQ：，
代入，得，
，，
由得：，
，
，
，∴上式解出：，
∴直线PQ：恒过定点．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由知，
当时，（当且仅当时取等号），
故在上是增函数，
又，故，，
即：当时，，．
（Ⅱ）解：当时，，符合条件；
当时，设与在点处有公切线，
则，
故；
当时，设与在点处有公切线，
同法可得；
综上所述，实数a的取值范围是．
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为；
圆C的直角坐标方程为．
（Ⅱ）将代入，
整理得：，
．
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）解：或，
∴解集为．
（Ⅱ）证明：．
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