陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析.doc

陕西省西安市长安一中 ‎2017～2018学年度第一学期期末考试 高一数学试题 时间：100分钟 总分：150分 命题人：李林刚 审题人：任晓龙 一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 设函数的定义域，函数的定义域为,则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知, ,所以，故选B.‎ ‎ ‎ ‎2. 已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ，故选A.‎ ‎3. 下列函数为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数的定义， 的定义域为R,关于原点对称，且满足 ，所以是奇函数，故选D. ‎ ‎4. 函数的图象的一条对称轴是（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：令，所以对称轴为 考点：三角函数性质 ‎ ‎ ‎5. 若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数在区间上单调递减，所以时，恒成立，即 ，故选A.‎ ‎6. 给定函数①，②③④其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的增减性知， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上符合题意的是②③ ，故选B. ‎ ‎7. 函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，根据零点的存在性定理知，函数 在上至少有一个零点，故选C.‎ ‎8. 设则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，‎ ‎，‎ ‎，又因为，所以，所以，故选A.‎ 考点：对数 ‎9. 函数的一部分图像如图所示，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据图象知,又函数图象经过最高点，代入函数得： ，因为，所以，所以，故选D. ‎ ‎10. 已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，，∴，，‎ ‎，∴.‎ ‎【考点】向量数量积 ‎【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎ ‎ ‎11. 函数的最小值是（ ）‎ A. B. 0 C. 2 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 时， ，故选B.‎ ‎12. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为当时，，且的值域为，所以当时，的值域包含，即的最大值不小于0，所以，解得，故选C. ‎ 点睛：分段函数判断单调性时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.‎ ‎13. 设，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得： ， 即，‎ 所以，又，所以当时，，故选C. ‎ ‎14. 已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是在内的两根，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 令，则，，所以 ,故选A.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置.）‎ ‎15. 已知向量，且，则m=_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为，所以，解得，故填. ‎ ‎16. 已知向量满足 的夹角为，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，故填. ‎ ‎17. 已知角的终边经过点,则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以 ，故填 .‎ ‎18. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填. ‎ 点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.‎ ‎19. 由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数 命名为狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：‎ ‎①函数的定义域和值域都是R； ②函数是奇函数；‎ ‎③函数是周期函数； ④函数在区间上是单调函数.‎ 正确结论是____________．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.‎ ‎20. 已知函数，关于的方程（）有四个不同的实数解，，，，则的取值范围为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出的图象如下：‎ 结合图像可知，，故 ‎ 令得：或，令得： ，‎ 故，故填 .‎ 点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）‎ ‎21. 计算下列各式的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【答案】（1）；（2）3；（3）1．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可；（2）根据对数的运算法则和性质化简求值；（3）利用诱导公式化简求值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)原式＝-10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1＝－.‎ ‎（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2‎ ‎＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.‎ ‎(3)原式＝‎ ‎22. 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，的坐标分别为，得到 ‎，求最值即可；（2）根据三角函数同角之间的关系，及二倍角公式、两角和差的正弦公式即可求值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，的坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以 ，‎ 所以，又因为平行四边形的面积为，‎ 所以．‎ 又因为，所以当时，的最大值为．‎ ‎（2）由题意知，，‎ 因为，所以，因为，所以．‎ 由，，得，，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎23. 已知向量，函数，且的图象过 点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简函数得，代入点即可求出m的值；（2）利用三角函数平移及函数得图象性质得，令即可求出单调增区间.‎ 试题解析：‎ ‎（1）已知，‎ 过点 解得: ‎ ‎（2）‎ 左移后得到 设的图象上符合题意的最高点为，解得 ‎，解得 ‎ ‎ ‎ 的单调增区间为 ‎24. 设为奇函数，为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：在区间内单调递增；‎ ‎（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）－1；（2）见解析；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义知恒成立，即可求解；（2）利用函数单调性的定义，作差证明即可；（3）构造函数，证明其在[3，4]上单调递增，求其最小值即可得到m的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）为奇函数，所以恒成立，所以恒成立，‎ 得，所以，即，经检验不合题意，所以。‎ ‎（2）由（1）知，，设任意的，‎ 则，‎ 因为 且，所以，‎ 故，所以，所以 在上是增函数。‎ ‎（3）由（2）知函数在[3，4]上单调递增，所以的最小值为，所以使恒成立的 的取值范围是.‎ 点睛：奇偶性的判定问题，解题时，一定要注意先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.‎