北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学学科试卷（文史类） 2018．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则是
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，设复数满足，则=
A． B． C． D．
3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
18
20
频率
0．1
0．2
0．3
0．2
0．2
试估计该商品日平均需求量为
A． B． C． D．
4． “”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5． 下列函数中，是奇函数且在内是减函数的是
① ② ③ ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
6． 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为
A． B．
C． D．
7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与，距离之比为，当不共线时，面积的最大值是
A． B． C． D．
P
A
B
D
C
M
8．如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．一段圆弧
D．一条线段
开始
i=1，S=2
结束
i=i+1
i>4?
输出S
是
否
S=i·S
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ．
10．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是 ．
11．已知菱形的边长为2，，则 ．
12．若变量x，y满足约束条件则的最小值为 ．
13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按
以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；
（2）左图阴影区域面积用表示为 ；
（3）右图中阴影区域的面积为 ；
（4）则柯西不等式用字母可以表示为．
请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ．
14．如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为 m；旗杆的高为 m.（用含有和的式子表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当时，．
16．（本小题满分13分）
已知由实数构成的等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求．
17．（本小题满分13分）
2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．
图1
选手乙的接发球技术统计表
技术
反手拧球
反手搓球
反手拉球
反手拨球
正手搓球
正手拉球
正手挑球
使用次数
20
2
2
4
12
4
1
得分率
55%
50%
0%
75%
41．7%
75%
100%
表1
（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？
（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？
（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）
18．（本小题满分14分）
A
C
B
B1
C1
A1
D
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的一个焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行．
20．（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；
（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；
（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围．
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1
一、选择题（40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
A
B
A
D
二、填空题（30分）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
；两个要点：（1）两图中的阴影部分面积相等；
（2）.
;
三、解答题（80分）
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
.
所以函数的最小正周期为. …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．
当时，，
，
.
当即时，取得最小值．
所以当时，. …………………………13分
16. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由可得.
由数列各项为实数，解得，.
所以数列的通项公式为或. …………………7分
（Ⅱ）当时，；
当时，.…13分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.
………………2分
（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:
AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:
AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.
则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率. …………………………10分
（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分
18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且是的中点，
所以．
因为侧棱底面，，
所以底面．
又因为底面，所以.
而,
所以平面．
因为平面，所以平面平面．…………………………5分
A
C
B
B1
C1
A1
D
E
（Ⅱ）证明：连接，设，连接．
由已知得，四边形为正方形，则为的中点.
因为是的中点，
所以．
又因为平面，
平面，
所以∥平面． …………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，
所以与到平面的距离相等，
所以．
由题设及，得，且．
所以，
所以三棱锥的体积为． …………………………14分
19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可知所以.
所以椭圆的方程为. …………………………3分
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为，
所以.
所以直线轴.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
.
因为点，所以直线的方程为.
令，所以.
由消去得.
显然恒成立.
所以
因为
，
所以.
所以直线轴.
综上所述，所以直线轴. …………………………14分
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）.. …………………………3分
（Ⅱ）设，.
当时，，则函数为减函数.
又因为，,
所以有且只有一个，使成立.
所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根. …………………………7分
（Ⅲ）
若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.
因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；
在上， ，即成立，函数为减函数.
则函数在处取得极大值.
当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.
由于，显然.
若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，
则只需满足：
.即，解得. ……………………13分
微信/支付宝扫码支付