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炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（五）
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．已知为实数集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若的平均数为3，标准差为4，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（ ）
A．-9 12 B．-9 36 C．3 36 D．-3 12
3．已知直角梯形中，，，，，，点在梯形内，那么为钝角的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．5
7．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． 0 D．
11．在中，角的对边分别为，且，则角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．设点，，点在双曲线上，则使的面积为3的点的个数为（ ）
A．4 B．3 C． 2 D．1
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．已知，，则与的夹角的余弦值为 ．
14．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是 ．
15．设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题 （共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，若数列的前项和为，求证：．
18．如图，已知是直角梯形，，，，，平面．
（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，
请说明理由；（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，求点到平面的距离．
19．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（Ⅰ）试求受奖励的分数线；
（Ⅱ）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．
20．已知为坐标原点，，是椭圆上的点，且，设动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值．
21．已知函数．
（Ⅰ）若为的极值点，求的值；
（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．
（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．
请考生在（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆，圆．
（Ⅰ）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求出与的公共弦的参数方程．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，
（Ⅰ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的一次二次方程有实根，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:ADABA 6-10:BDBDA 11、12：AA
二、填空题
13． 14． 15． ③ 16．
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，
∴，．
又点在函数的图象上，
从而，
即．
（Ⅱ）证明：由，，得，
，
则，
两式相减得：，
∴，
∴，
∵，∴．
18．【解析】证明：当为中点时满足题意
（Ⅰ）取的中点为，连结．
∵，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
即．
∵平面，
∴平面．
∵分别是的中点，∴，
∵平面，
∴平面．
∵，
∴平面平面．
∵平面，
∴平面．
（Ⅱ）由已知易得，．
∵，
∴，即．
又∵平面，平面，
∴．
∵，
∴平面
∵平面，
∴．
（Ⅲ）由已知得，所以．
又，则，由得，
∵，
∴到平面的距离为．
19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为86．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．
20．【解析】（Ⅰ）设点，，，
则由，得，
即，，因为点在椭圆上，
所以，，
故
，
因为，
所以动点的轨迹的方程为．
（Ⅱ）将曲线与直线联立：，消得：，
∵直线与曲线交于两点，设，，
∴，又∵，得，
，，
∴，
∵点到直线的距离，
∴
，当时等号成立，满足（*）
∴三角形面积的最大值为．
21．【解析】（Ⅰ），求导，，
由为的极值点，则，即，解得：，
当时，，
从而为函数的极值点，成立，
∴的值为0；
（Ⅱ）在单调递增，则，
则在区间上恒成立，
①当时，在区间上恒成立，
∴在区间上单调递增，故符合题意；
②当时，由的定义域可知：，
若，则不满足条件在区间上恒成立，
则，
则，对区间上恒成立，
令，其对称轴为，
由，则，
从而在区间上恒成立，
只需要即可，
由，解得：，
由，则，
综上所述，的取值范围为；
（Ⅲ）当时，方程，转化成，
即，令，
则在上有解，
令，，
求导，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
在上的最大值为，
此时，，
当时，方程有实数根，则的最大值为0．
22．【解析】（Ⅰ）由，，
得圆的极坐标方程为，
圆，即的极坐标方程为，
解，得：，，
故圆的交点坐标为，．
注：极坐标系下，点的表示不唯一．
（Ⅱ）由，得圆的交点的直角坐标，，
故的公共弦的参数方程为，．
23．【解析】（Ⅰ）因为，
所以，即，
所以实数的取值范围为；
（Ⅱ），
即，
所以不等式等价于
或或，
所以，或，或，
所以实数的取值范围是．
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