2017-2018学年度上学期期末考试高二试题
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
2.命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）
A．命题P B．命题 C．命题 D．命题
3.若，，则，，中最大的数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C.充分必要 D．既不充分也不必要条件
5.下列选项错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件；
C.若命题：，，则：，；
D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题
6.在各项均为正数的等比数列中，，，则的值是（ ）
A． B． C. D．
7.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C. D．
8.已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
9.已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A． B． C. D．
10.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C. D．
11.设，满足约束条件，且的最小值为，则（ ）
A． B． C.或 D．或
12.函数的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆与曲线没有公共点，则半径的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 ．
14.已知四面体，，，，，则 ．
15.已知，，，则的最小值是 ．
16.已知各项均为正数的数列的前项和为，若，，则数列
的通项公式为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在等差数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），（），求
18. 如图，已知正方体的棱长为，，，，分别是棱，，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成的角.
19. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点.
（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
20. 如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面.为线段的中点，为线段上的动点.
（1）求证：；
（2）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；
（3）是否存在点，使得直线平面？请说明理由.
21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、.、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、.、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.
22.已知抛物线：（）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为，椭圆：（）的离心率为，且过抛物线的焦点.
（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线，，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线，的交点为.
①求点的轨迹方程；
②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.
2017-2018学年度上学期期末考试高二试题
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：设的公差为，由题意得解得
得
（2）∵
=
18.（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系
由已知条件可得
，，，，
，，
，又有平面
所以平面
（其它证法酌情给分，但要注意“平面”）
（2）如（1）问建系，，
，
所以
即求直线与所成的角
19.证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，
直线与抛物线相交于点、，∴
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中
由得，则
又∵，，∴
综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题.
（2）逆命题是：设直线交抛物线于、两点，
如果，那么直线过点，
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点，.此时
直线的方程为，而不在直线上.
20.解：（1）由已知，平面平面
平面，平面平面
所以平面
又平面
所以
（2）由（1）可知，，两两垂直.
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示.
由已知
所以，，，，
因为为线段的中点，为线段的中点.
所以，
易知平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
由得
取，得
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以
所以二面角的余弦值为
（3）存在点，使得直线平面
设，且，，则
所以，，.所以
设平面的一个法向量为，
由得
取，得（不符合题意）
又若平面，则
所以，所以
所以存在点，使得直线平面
21.解：（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且
进而动点的轨迹方程为
（2）动点的轨迹是一个圆
设两切线，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立
得
因为直线与椭圆相切，所以，得
化简，
进而
所以
所以是方程的一个根.
同理是方程的另一个根.
所以，得，其中
②当轴或轴时，对应轴或轴，可知，满足上式，
综上知：点的轨迹方程为
22.解：（1）∵抛物线的通径长为
∴，得
∴抛物线的方程为
∵抛物线的焦点在椭圆上
∴，得
∵椭圆的离心率为
∴
∴椭圆的方程为
（2）设，
其中，，
∵点、、三点共线
∴
∴（*）
设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得
，由，可得
即
同理可得，切线的方程为
联立两方程解得，点坐标为
①设点，则，
代入（*）式得，点的轨迹方程为：
②由切线和椭圆方程，消去得：
∴，
∴
∵点到切线的距离为
∴的面积为
∴当，时，有最大值为
此时，由（*）可得
∴点坐标为
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