北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （文科） 2019.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，若复数对应的点在第二象限，则可以为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知圆，则圆心到直线的距离等于
（A） （B） （C） （D）
（4）设为的边的中点，，则的值分别为
（A） （B） （C） （D）
（5）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图
所示，则截面图形的形状为
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）平行四边形 （D）梯形
（6）若满足则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（7）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“相等”是“总相等”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 , , ，则
本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）
最高可能为
（A） （B）
（C）96% （D）98%
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）在等差数列中，，则 .
（10）抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_______.
（11）在中，若，则= .
（12）已知函数，若对于闭区间中的任意两个不同的数，都有成立，写出一个满足条件的闭区间 .
（13）设函数 若，则的最小值为 ； 若
有最小值，则实数的取值范围是_______．
（14）设是的两个子集，对任意，定义：
①若，则对任意， _____；
②若对任意，，则的关系为__________.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期，并画出在区间上的图象.
[]
（16）（本小题13分）
已知等比数列的首项为2，等差数列的前项和为 ，且，
，.
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
（17）（本小题13分）
改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
（19）（本小题13分）
已知为椭圆上两点，过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若四边形为平行四边形，求的值．
（20）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数在时取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求零点的个数.
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）D （4）A
（5）A （6）D （7）B （8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11） （12） （答案不唯一）
（13）； （14）；
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）.
………………………………………………………………………………………………………………. 3分
（Ⅱ）
. …………………………………………………………………..9分
所以的最小正周期. ………………………………………………….10分
因为，所以 .
列表如下：
[]
[
[]
…………………………..13分
（16）（共13分）
解:（Ⅰ）设数列的公比为，数列的公差为.
由，得 .因为，所以 .
所以.
由 得 解得
所以. ………..8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， .
所以.
从而数列的前项和
…………..13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上”．
根据题意，
． …………………………………………………….3分
（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为，，其它三年设为，，，从五年中随机选出两年，共有10种情况：
，，，，，，，，，，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况，
所以所求概率为. …………………………………………………….9分
（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． …………….13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设， 连结.
由已知，，,得
.
由,得.
在 中，由，得.
因为平面，平面，
所以平面. …………….5分
（Ⅱ）因为平面，平面 ，
所以.
由已知得，， ，
所以.
所以.
又，所以平面.
因为平面，
所以平面平面. …………….10分
（Ⅲ）在平面内作于点，
由，，，
得平面.
因为平面，所以.
又，所以平面.
由，，，
得.………………………..14分
（19）（共13分）
解：（I）由题意得解得
所以椭圆的方程为.
又，
所以离心率. ………………………..5分[
（II）设直线的方程为，
由消去，整理得.
当时，设，
则，即.
将代入，整理得，所以.
所以.所以.
同理.
所以直线的斜率.
又直线的斜率，所以.
因为四边形为平行四边形，所以.
所以，解得或.
时，与重合，不符合题意，舍去.
所以四边形为平行四边形时，. ………………………………13分
（20）（共14分）
解：（I）定义域为.
.
由已知，得，解得.
当时，.
所以.
所以减区间为，增区间为.
所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意
所以. ……………………………………………………………………5分
（II ）令，由，得.
所以.
所以减区间为，增区间为.
所以函数在时取得极小值，其极小值为.
因为，所以.
所以. 所以.
因为，
又因为，所以.
所以.
根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.
因为，.
令，得.
又因为，所以.
所以当时，.
根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.
所以，当时，有两个零点. ………………………………14分
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