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北京市东城区 2018-2019 学年度第⼆学期高三综合练习（一）
2019.4
数学 （理科）[]
本试卷共 5页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考⽣生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项。
（1）已知集合，， 则
（A） （B）
（C） （D）R
（2）在复平⾯面内，若复数 对应的点在第⼆二象限，则 可以为
（A） （B）
（C） （D）
（3）在平面直角坐标系XOY 中，角 以OX为始边，终边经过点 ，则下列各式的值一定为负的是
(A) (B)
(C) (D)
（4）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）平行四边形 （D）梯形
[]
（5）若满足，则的最大值为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（6）已知直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点 C.若
点F是 的AC中点，则线段BC 的长为
(A) (B)3 (C) (D)6
（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“相等”是“总相等”的
(A) 充分⽽而不不必要条件
(B) 必要⽽而不不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不不充分也不不必要条件
（8）已知数列满足：，，则下列关于的判断正确的是
（A） 使得
（B） 使得
（C） 总有
（D）总有
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（ 9）在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）
（ 10 ）在中，若，则 .
（ 11）若曲线（为参数）关于直线 (为参数)对称，则 ； 此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .
（ 12）已知向量a=，向量b为单位向量，且a·b=1，则2 b- a与2 b夹角为 .
（13）已知函数，若 都有
成立，则 满足条件的一个区间是 .
（14）设A,B是R 中两个子集，对于，定义：
①若.则对任意， ；[]
②若对任意，，则 A,B的关系为 .
三、解答题共 6 ⼩小题，共 80 分。解答应写出⽂文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题 13 分）
已知函数，且 .
(Ⅰ ) 求的值及的最小正周期；
(Ⅱ ) 若在区间上单调递增，求的最大值.
（16）（本小题 13 分）
改革开放 40 年年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；
（Ⅱ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数，求X的分布列列与数学期望；
（Ⅲ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不不要求证明）
（17）（本小题 14 分）
如图，在棱长均为2的三棱柱 中，点C在平面内的射影O为与的 交点， E,F分别为的中点．
（Ⅰ ）求证：四边形为正方形；
（Ⅱ ）求直线EF与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ ）在线段上存在一点D，使得直线 EF与平面没有 公共点，求的值.
（18）（本小题 13 分）
设函数的极小值点为 .
（I）若，求 的值的单调区间；
（II）若，在曲线上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个 点P坐标，若不存在，说明理由.
（19）（本小题 13 分）
已知椭圆 与x 轴交于两点，与y轴的一个交点为B， 的面积 为 2.
（Ⅰ ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ ）在y轴右侧且平行于y轴的直线与椭圆 交于不同的两点，直线 与直线 交于点 P.以原点O为圆心，以 为半径的圆与 x轴交于 两点M,N（点M在点N的左侧），求 的值.
（20）（本小题 14 分）
已知，数列中的项均为不大于的正整数. 表示中的个数. 定义变换，将数列变成数列其中.
（Ⅰ）若，对数列，写出的值；
（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.
求证： 的充分必要条件为
（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
2019.4
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）D （4）A
（5）D （6）C （7）B （8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11） （12）
（13） (答案不唯一) （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知，得，解得.
所以的最小正周期为. ............................7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，
若在区间上单调递增，
则有，即.
所以的最大值为. ............................13分
（16）（共13分）
解:（Ⅰ）设表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增
加值多亿元以上”．
由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，
故． ............................4分
（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为,,，3，且
； ；
； .
所以的分布列为：
0
1
2
3
故的期望． ............................10分
（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）连结．
因为在平面内的射影为与的交点，
所以平面．
由已知三棱柱各棱长均相等，
所以，且为菱形.
由勾股定理得，即.
所以四边形为正方形. .....................5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面
在正方形中，．
如图建立空间直角坐标系．
由题意得，
．
所以
设平面的法向量为
则即
令则
于是．
又因为，
设直线与平面所成角为，则
．
所以直线与平面所成角的正弦值为. ............................10分
（Ⅲ）直线与平面没有公共点，即∥平面．
设点坐标为，与重合时不合题意，所以．
因为，．
设为平面的法向量，
则即
令，则，.
于是.
若∥平面，.
又，
所以，解得． []
此时平面，
所以 ，.
所以． ......................14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）定义域为.
.
由已知，得，解得.
当时，
当时，；当时，.
所以的递减区间为，单调递增区间为
所以时函数在处取得极小值.
即的极小值点为时的值为. ............................6分
（II） 当时，曲线上不存在点位于轴的下方，理由如下：
由（I）知
当时，，所以在单调递减，不存在极小值点；
当时，令，得.
当时，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以是在上的最小值.
由已知，若，则有，即.
当时，，且，.
所以
当时，曲线上所有的点均位于轴的上方.
故当时，曲线上不存在点位于轴的下方. ............................13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为由椭圆方程知：，
，所以
所以椭圆的方程为.
由，，得，
所以椭圆的离心率为. ............................5分
（Ⅱ）设点,不妨设
设，，
由得
即
又，得，
化简得
因为，所以，即
所以点的轨迹为双曲线的右支，两点恰为其焦点，为双曲线的顶点，且，所以. ............................13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ） ............................3分
（Ⅱ）由于对任意的正整数，存在中的项，使得. 所以均不为零.
必要性：若，由于，
所以有；；；；.
通过解此方程组，可得成立.
充分性：若成立，不妨设，可以得到.
所以有：；；；；.
所以成立. ............................9分
（Ⅲ）设的所有不同取值为，且满足：.
不妨设，
其中；；；.
又因为，根据变换有：；
；
；
所以
即
所以
因为
所以有.
因此，
即[
从而.
因此结论成立. . ...........................14分
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