凌源市2017~2018学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等于( )
A. B. C. D.
4.一次数学考试后,某老师从甲,乙两个班级中各抽取5人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图,已知甲班5名同学成绩的平均数为81,乙班5名同学成绩的中位数为73,则的值为( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
5.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是( )
A. B. C.8 D.2
6.如下图,一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆,那么这个几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图,如果输出的值为3,则输入的值可以是( )
A.20 B.21 C.22 D.23
8.为得到函数的图象,只需要将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
9.若满足约束条件,则的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.3
10.函数的部分图象如下图所示,则的值是( )
A. B. C. D.
11.如下图,一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为( )
A. B. C. D.
12.函数的定义域为,图象如图1所示;函数的定义域为,图象如图2所示,方程有个实数根,方程有个实数根,则( )
A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知,且,则的最小值是 .
14.已知两点,,如果在直线上存在点,使得,则的取值范围是 .
15.已知函数,则关于的不等式的解集为 .
16.观察下面的数阵,则第40行最左边的数是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数在区间上有1个零点;函数图象与轴交于不同的两点.若“”是假命题,“”是真命题,求实数的取值范围.
18.在数列中,,,.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
19.已知顶点在单位圆上的中,角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
21.如下图,在四棱锥中,底面为矩形,是的中点,是的中点,是中点.
(1)证明:平面;
(2)若平面底面,,试在上找一点,使平面,并证明此结论.
22.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.
(1)若点的坐标为,求切线的方程;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBDDD 6-10:BADCD 11、12:DC
二、填空题
13.4 14. 15. 16.1522
三、解答题
17.解:对于设.
该二次函数图象开向上,对称轴为直线,
所以,所以;
对于函数与轴交于不同的两点,
所以,即,
解得或.
因为“”是假命题,“”是真命题,所以一真一假.
①当真假时,有,所以;
②当假真时,有,所以或.
所以实数的取值范围是.
18.证明:(1)由,知,又,
∴则数列是以为首项,公比为的等比数列.
解:(2)由(1)知数列是首项为,公比为的等比数列,
∴,∴.
∴,①
则,②
①-②,得,
∴.
19.解:(1)因为,
所以,
所以.
因为,所以,
所以.
因为,所以.
所以,所以.
(2)据(1)求解知,又,∴,
又据题设知,得.
因为由余弦定理,得,
所以.
所以.
20.解:(1)第1组人数,所以;
第2组人数,所以;
第3组人数,所以;
第4组人数,所以;
第5组人数,所以.
(2)第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应依次抽取2人,3人,1人.
(3)记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为,第4组的记为,则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是,,,
其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是,,
故所求概率为.
21.(1)证明:连接,交于点,连接.
∵四边形为矩形,
∴为的中点.
又为的中点,∴.
又是的中点,是中点,∴,∴.
∵平面,平面,
∴平面.
(2)解:的中点即为所求的点.
证明如下:
连接,
∵为的中点,∴,.
又为的中点,且四边形为矩形,
∴,.
∴,.
∴四边形为平行四边形,∴.
∵平面底面,平面底面,底面,,
∴平面,
又平面,∴.∴.
又∵,是的中点,∴,∴.
又平面,,∴平面.
22.(1)解:①当切线斜率不存在时,切线方程为;
②当切线斜率存在时,设切线方程为,
因为直线和圆相切,所以圆心到切线的距离,解得,
所以切线方程为,即.
故所求切线方程为或.
(2)解:四边形的面积,
所以当最小时,四边形的面积最小.
又的最小值是圆心到直线的距离,
即.
所以四边形的面积最小值是.
(3)证明:过三点的圆即以为直径的圆,
设点,则圆心坐标是,
以为直径的圆的方程是,
化简,得,
即.(*)
令,解得或.
由于不论为何值,点、的坐标都适合方程(*),所以经过三点的圆必过定点,定点坐标是和.