初三第一学期期末学业水平调研
数 学 2018．1
学校 姓名 准考证号
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．抛物线的对称轴是
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为
A． B． C． D．
3．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB4，AD2，DE1.5，
则BC的长为
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段
BC的延长线上，则的大小为
A．30° B．40°
C．50° D．60°
5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC3:2，∠Aα，∠Cβ，△OAB与△OCD的面积分别是和，△OAB与△OCD的周长分别是和，则下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
7．如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当时，x的取值
范围是
A．或
B．
C．
D．
C
D
A
O
B
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是
图1 图2
A．小红的运动路程比小兰的长
B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D
D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．方程的根为 ．
10．已知∠A为锐角，且，那么∠A的大小是 °．
11．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）
12．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x
轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．
13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为 ．
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为 ．
16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A．
求作：∠A，使得∠A30°．
作法：如图，
（1）作射线AB；
（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；
（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．
∠DAB即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：°°．
18．已知是关于x的方程的一个根，求的值．
19．如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB，AC5，，求BC的长．
20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．
（1）直接写出v关于t的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）
（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？
21．如图，在△ABC中，∠B90°，AB4，BC2，以AC为边作△ACE，∠ACE90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中为锐角，图2中为直角，图3中为钝角）．
图1 图2 图3
在△ABC的边BC上取，两点，使，则∽∽，
，，进而可得 ；（用表示）
若AB=4，AC=3，BC=6，则 ．
23．如图，函数（）与的图象交于点A（-1，n）和点B（-2，1）．
（1）求k，a，b的值；
（2）直线与（）的图象交于点P，与的图象交于点Q，当时，直接写出m的取值范围．
24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若 AD4，DE5，求DM的长．
25．如图，在△ABC中，，°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至，连接．已知AB2cm，设BD为x cm，B为y cm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
0.5
0.7
1.0
1.5
2.0
2.3
1.7
1.3
1.1
0.7
0.9
1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段的长度的最小值约为__________；
若，则的长度x的取值范围是_____________．
26．已知二次函数．
（1）该二次函数图象的对称轴是x ；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当时，的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点 ，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．
27．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．
28．在△ABC中，∠A90°，ABAC．
（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________（填“是”或“否”）；
（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PBPA．
①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；
②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．
图1 图2 图3
初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准 2018．1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
B
D
C
A
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．或 10．60 11．（答案不唯一） 12．（，0）
13．6 14．2 15．10
16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
或：直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）
17．解：原式 = ………………3分
=
= ………………5分
18．解：∵ 是关于x的方程的一个根，
∴ .
∴ . ………………3分
∴ . ………………5分
19．解：作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ AC=5，，
∴ . ………………2分
∴ 在Rt△ACD中，. ………………3分
∵ AB，
∴ 在Rt△ABD中，. ………………4分
∴ . ………………5分
20．解：
（1）. ………………3分
（2）由题意，当时，. ………………5分
答：平均每天要卸载48吨.
21．证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ .
∵ CE=AC，
∴ .
∵ CD=5，
∴ . ………………3分
∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，
∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.
∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC∽△CED. ………………5分
22．BC，BC， ………………3分
………………5分
23．解：
（1）∵ 函数（）的图象经过点B（-2， 1），
∴ ，得. ………………1分
∵ 函数（）的图象还经过点A（-1，n），
∴ ，点A的坐标为（-1，2）. ………………2分
∵ 函数的图象经过点A和点B，
∴ 解得 ………………4分
（2）且. ………………6分
24．（1）证明：∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵ DE∥AB，
∴ ∠ABD=∠BDE.
∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1分
∵ ED=EF，
∴ ∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，
∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
∴ OD⊥DF. ………………2分
∵OD是半径，
∴ DF是⊙O的切线. ………………3
分
（2）解： 连接DC，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BAD=∠BCD=90°.
∵ ∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴ △ABD≌△CBD.
∴ CD=AD=4，AB=BC.
∵ DE=5，
∴ ，EF=DE=5.
∵ ∠CBD=∠BDE，
∴ BE=DE=5.
∴ ，.
∴ AB=8. ………………5分
∵ DE∥AB，
∴ △ABF∽△MEF.
∴ .
∴ ME=4.
∴ . ………………6分
25．（1）0.9. ………………1分
（2）如右图所示. ………………3分
（3）0.7， ………………4分
. ………………6分
26．解：
（1）2． ………………1分
（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
∴ 当时，y取到在上的最大值为2.
∴ .
∴ ，. ………………3分
∵ 当时，y随x的增大而增大，
∴ 当时，y取到在上的最小值.
∵ 当时，y随x的增大而减小，
∴ 当时，y取到在上的最小值.
∴ 当时，y的最小值为. ………………4分
（3）4. ………………6分
27．解：
（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分
（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.
作MH⊥x轴于H，连接MC，
∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
∴ .
∴ .
设，则，，
∴ ，解得，即点M的纵坐标为.
又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为，
故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：. ………………3分
由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：.………………4分
∴ 点B的纵坐标t的取值范围是或.
（3）或. ………………7分
28．解：
（1）否. ………………1分
（2）① 作PD⊥AB于D，则∠PDB=∠PDA=90°，
∵ ∠ABP=30°，
∴ . ………………2分
∵ ，
∴ .
∴ .
由∠PAB是锐角，得∠PAB=45°. ………………3分
另证：作点关于直线的对称点，连接，则.
∵∠ABP=30°，
∴.
∴△是等边三角形.
∴.
∵，
∴. ………………2分
∴.
∴.
∴. ………………3分
② ，证明如下： ………………4分
作AD⊥AP，并取AD=AP，连接DC，DP.
∴ ∠DAP=90°.
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP,
即 ∠BAP=∠CAD.
∵ AB=AC，AD=AP，
∴ △BAP≌△CAD.
∴ ∠1=∠2，PB=CD. ………………5分
∵ ∠DAP=90°，AD=AP，
∴ ，∠ADP=∠APD=45°.
∵ ，
∴ PD=PB=CD.
∴ ∠DCP=∠DPC.
∵ ∠APCα，∠BPCβ，
∴ ，.
∴ .
∴ .
∴ . ………………7分
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