绝密★启用前 试卷类型：A
2018年茂名市高三级第一次综合测试
数学试卷（文科） 2018.1
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5．考试结束后，请将答题卡上交.
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=( )
A. {−1, 0, 1, 2} B. {x|−1＜x＜3} C. {0,1, 2} D. {−1, 0, 1}
2．已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=( )
A. B. C. 2 D.
3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )
A. B. C. D.
4．已知变量满足约束条件 则的最小值为( )
A. 11 B. 12 C. 8 D. 3
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9= ( )
A. 20 B.35 C. 45 D. 90
6．已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7．已知函数f(x)=sin(wx+j) (w＞0, 0＜j＜)，f(x1)=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min=，且f() =，则f(x)的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
B
1
1
O
x
y
--1
1
1
O
D
x
y
1
1
O
A
x
y
--1
1
1
O
C
x
y
--1
8．函数的部分图象大致为( )
否
S= 2
是
结束
输出S
k＜2018?
开始
k=0
k=k+1
第10题图
9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看
巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋
七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔
中间一层有（ ）盏灯.
A.24 B.48 C.12 D.60
10．执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是( )
A.2 018 B. −1
C. D.2
A
B
D
E
N
C
G
F
M
第11题图
11．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；
②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；
④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12．定义在R上函数的图象关于直线x=−2对称，且函数是偶函数. 若当x∈[0,1]时，，则函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )
A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．已知则 ．
14．曲线在点(1, ln2)处的切线方程为 ．
15．从原点O向圆C: 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．
D
C
B
A
第16题图
16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，
∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积
为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积.
B
A
P
E
D
C
第18题图
18. （本小题满分分）
在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，
∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点.
（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A−EBC的
体积.
19．（本小题满分 12 分）
一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度x/°C
21
23
24
27
29
32
产卵数y/个
6
11
20
27
57
77
经计算得：，，，，
，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为
=−；相关指数R2=．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的l倍(l＞1)，过点C(−1,0)的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数(a∈R).
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若. 证明：当，且时，．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a，在以原点O为极点，x
轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；
（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数的最大值为M，若不等式有解，求m的取值范围．
绝密★启用前 试卷类型：A
2018年茂名市高三级第一次综合测试
数学试卷（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
C
D
B
C
A
C
B
D
提示：
2．【解析】，|z|=，故选D.
4
1
O
A
x
y
--1
x+y=4
y=2
x−y=1
4
2
z=3x+y
3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)
共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个.
因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是. 故选A.
4．【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A(2, 2)，
化目标函数z=3x+y为y= −3x+z，
由图可知，当直线y= −3x+z过A时，直线在y轴上的截距
最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选C.
5．【解析】由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=.故选C.
6．【解析】抛物线的准线方程为，准线与轴的交点为，为等腰直角三角形，得，故点A的坐标为，由点在双曲线上，可得，解得，即，所以，故双曲线的离心率.故选D.
7．【解析】：设f(x)的周期为T，由f(x1)=1，f(x2)=0，|x1 –x2|min= ,得
,
由f() =，得sin(p +j)=，即cosj=，又0＜j＜，∴j =，f(x)=sin(px).
由，得.
∴ f(x)的单调递增区间为故选B.
8．【解析】由f(x)为奇函数，排除B，＜1，排除A. 当x＞0时，，，∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增，排除D，故选C.
9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为,则,解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3´23=24. 故选A.
10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S＝2，当k=0时，S0＝−1，k=1时，S1＝，同理S2＝2，S3＝−1，S4＝，…，可见Sn的值周期为3.∴当k＝2017时，S2017＝S1＝，
此时A
B
D
M(E)
N
C
G
F
k＝2018，退出循环. 输出S＝. 故选C.
11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF与GC
异面垂直，故①正确；②显然BD与GC成异面直线,连接EB，ED.
则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面
直线BD与GC所成的角，故②正确；③显然BD与MN异面垂直，
故③错误；④显然GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是
BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形.
所以BG与平面ABCD所成的角不是为45 °，故④错误. 故选B.
x
O
−2
−1
2
1
1
y
12．【解析】函数在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数 的图象与的图象交点个数. 由的图象关于直线x= −2对称，得是偶函数，即.又∵函数是偶函数，∴，故，因此，是周期为2的偶函数.∵当x∈[0,1]时，，作出与图象如下图，
可知每个周期内有两个交点，所以函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018´2=4036. 故选D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．1 14. 15. 16.
提示：
O
C
x
y
B
A
13．【解析】∵∴，
∴，∴.
14．【解析】由所求切线斜率，得曲线在点(1, ln2)
处的切线方程为，即.
15．【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心C
的坐标为(0, 6),圆的半径,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90°，
且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°
O
O1
D
C
B
A
所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为(写成1:2也对).
16．【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得
截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，
故球心到截面的距离为，则球的半径为
.所以球的体积为.
三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过
程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得，整理得. …2分
， ………………3分
又在△ABC中，0＜C＜p， ………………4分
∴，即角C的大小为. .………………5分
法二：由已知及正弦定理得，
又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分
∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，
即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0， ………………3分
B
A
D
C
∴，又0＜C＜p， ………………4分
∴，即角C的大小为. .………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)，依题意得如图，在△ADC中，AC=b=，AD=，
由正弦定理得， .………………7分
∵在△ADC中，0＜＜p，C为钝角， ........………....………8分
∴，故. .………………9分
∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴, .……….……10分
∴△ABC是等腰三角形，. .………………11分
故△ABC的面积. .…………….…12分
18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，………1分
B
A
P
E
D
C
∴∠BAD=∠ADC=120°. .…………........……2分
∵ AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°， .……………….........3分
∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120°−30°=90°，即AB⊥AC.…...........…4分
∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴AB⊥平面PAC， ..........................………………...5分
又平面ABÌ平面EAB，
∴平面EAB⊥平面PAC； ..........................……………...6分
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，
∴AC= AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分
∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC的边长为. ...……………8分
∵E是PC的中点，∴S△EAC＝S△PAC＝. ………10分
O
F
B
A
P
E
D
C
∴三棱锥A−EBC的体积为...……………12分
(Ⅱ)解法二：过P作PO⊥AC于点O，
∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PO⊥平面ABC，
过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，
∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF， ………7分
又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故.
由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，
∴BC=2AB=2, AC= AB∙tan60°=, 即正△PAC的边长为, ………….........…8分
∴PO=, 故EF=. .............................................................................….........9分
在Rt△ABC中，S△ABC＝. ….........………….........…10分
∴三棱锥A−EBC的体积为. ...................12分
19.解：(Ⅰ)依题意，n=6， ....……….……2分
≈33−6.6´26=−138.6， ....…...................…………3分
∴y关于x的线性回归方程为=6.6x−138.6． ....……………4分
(Ⅱ) ( i )利用所给数据, , 得, 线性回归方程=6.6x−138.6
的相关指数R2= .................….......6分
∵0.9398＜0.9522， .............................................….......…………7分
因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x−138.6拟合效果更好. ....……..……8分
( ii )由( i )得温度x=35°C时，=0.06e0.2303´35=0.06´e8.0605. ....……..……..…9分
又∵e8.0605≈3167， ......................................……….....……10分
∴≈0.06´3167≈190（个）. .....................................………...……11分
所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分
20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为, …......……………1分
可知直线所过定点为. ...............………2分
∴椭圆焦点在y轴, 且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9. ……………3分
椭圆C1的方程标准为. ………………4分
(Ⅱ)依题意，设椭圆C2的方程为，A(x1,y1), B(x2,y2)，………………6分
∵l＞1，∴点C(-1, 0)在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点.
当直线l垂直于x轴时，(不是零向量)，不合条件；
故设直线l为y=k(x+1) (A，B，O三点不共线，故k≠0), ……………..…7分
由得.
由韦达定理得. ………………8分
∵，而点C(−1, 0)，
∴(-1-x1, -y1)=2(x2+1, y2)，∴y1= -2y2， ………………..…9分
即y1+y2= -y2 故. ………………10分
∴△OAB的面积为
. .......................……11分
上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值.
所以直线的方程为或. ………………12分
21. (Ⅰ)解：由已知得的定义域为(0, +∞)， . ...........……1分
方程的判别式. …………....…......…2分
①当时，△≤0，，此时,在(0, +∞)上为增函数；…………..............…3分
②当时，设方程的两根为，
若, 则, 此时, , 在(0, +∞)上为增函数； ……......…4分
若a＞0，则x1＜0＜x2，此时, g(x)在(0, x2]上为减函数，在(x2, +∞)上为增函数，…..……5分
综上所述：当时，的增区间为(0, +∞)，无减区间；
当时，的减区间为，增区间为. ………....…...……6分
(Ⅱ)证明：由题意知 ………………..........................................7分
∴， …………….............................................…8分
考虑函数，
则 ………………...............................................9分
所以x≠1时，，而 ………………................................................10分
故时，，可得，
时，，可得， …………….................…...11分
从而当，且时，． ……………..................…12分
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.解：(Ⅰ)法一： 由曲线C的极坐标方程得，又
∴曲线C的直角坐标方程为，即 ………....…1分
∴曲线C是圆心为C(2, 0)，半径为2的圆.
∵直线l过点P(−2,0)，当l的斜率不存在时，l的方程为x= -2与曲线C没有公共点，…2分
∴直线l的斜率存在，设直线l：，即.
直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离 ...........………3分
解得 …...............………4分
∵，∴的取值范围是 ....................…………5分
法二：由曲线C的极坐标方程得，又
∴曲线C的直角坐标方程为， …....................................................………1分
∵直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a，
∴直线l的参数方程为（为参数）， ……......................................……2分
将代入整理得：. .............….………3分
∵直线l与曲线C有公共点，∴即或…....4分
∵，∴的取值范围是. ....…….......................5分
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为，
故其参数方程为 （为参数） . ……….............…7分
∵M(x,y)为曲线C上任意一点，∴ …........8分
∵，∴，
因此，的取值范围是
. ………….........................10分
法二：设. …………..........................6分
由(Ⅰ)知曲线C即圆C:, 依题意, 圆C与直线有交点，…7分
∴圆心C到直线的距离， .................................……9分
解得, 即的取值范围是. ……............................... .................……10分
23. 解：(Ⅰ)当时，，此时无解； ….......................……………1分
当时，，由解得；………….................……3分
当时，，此时恒成立. …………......................................……4分
综上，不等式的解集是. …………….....................................…5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ……………….......................................6分
易知函数的最大值M=8， ………………............................................7分
若有解，得有解. ………………............................................8分
即. …………….............................................…9分
因此，m的取值范围是. ……………...........................................…10分
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