广东茂名市2018届高三数学上学期一模试卷(文科带答案)
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资料简介
绝密★启用前 试卷类型:A ‎2018年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷(文科) 2018.1‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分,共6页,23小题,满分150分,考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎5.考试结束后,请将答题卡上交.‎ 第一部分 选择题(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A={x|−1<x<3},B={−1, 0, 1, 2},则A∩B=(   )‎ A. {−1, 0, 1, 2} B. {x|−1<x<3} C. {0,1, 2} D. {−1, 0, 1}‎ ‎2.已知复数z满足zi=2+i,i是虚数单位,则|z|=(   )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎3.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知变量满足约束条件 则的最小值为(  ) ‎ A. 11 B. 12 C. 8 D. 3‎ ‎5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=10,则S9= (  )‎ A. 20 B.35 C. 45 D. 90‎ ‎6.已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B两点,点F为抛物线的焦点,若△ADF为等腰直角三角形,则双曲线的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数f(x)=sin(wx+j) (w>0, 0<j<),f(x1)=1,f(x2)=0,若|x1–x2|min=,且f() =,则f(x)的单调递增区间为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ B ‎1‎ ‎1‎ O x y --1‎ ‎1‎ ‎1‎ O D x y ‎1‎ ‎1‎ O A x y --1‎ ‎1‎ ‎1‎ O C x y --1‎ ‎8.函数的部分图象大致为(  )‎ 否 S= 2‎ 是 结束 输出S k<2018?‎ 开始 k=0‎ k=k+1 ‎ 第10题图 ‎9.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看 巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋 七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔 中间一层有( )盏灯.‎ A.24 B.48 C.12 D.60‎ ‎10.执行如图所示的程序框图,那么输出S的值是( )‎ A.2 018 B. −1‎ C. D.2‎ A B D E N C G F M 第11题图 ‎11.右图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:‎ ‎①AF⊥GC;‎ ‎②BD与GC成异面直线且夹角为60°;‎ ‎③BD∥MN;‎ ‎④BG与平面ABCD所成的角为45°.‎ 其中正确的个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12.定义在R上函数的图象关于直线x=−2对称,且函数是偶函数. 若当x∈[0,1]时,,则函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )‎ A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036‎ 第二部分 非选择题(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知则 .‎ ‎14.曲线在点(1, ln2)处的切线方程为 .‎ ‎15.从原点O向圆C: 作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 .‎ D C B A 第16题图 ‎16.如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在△ABC中,AB=,‎ ‎∠ACB=60°,∠BCD=90°,AB⊥CD,CD=,则该球的体积 为 .‎ 三、解答题:本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题. 解答过程应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.‎ ‎(Ⅰ)求角C的大小; ‎ ‎(Ⅱ)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积. ‎ B A P E D C 第18题图 ‎18. (本小题满分分)‎ 在四棱锥P−ABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,‎ ‎∠ABC=∠DCB=60°,E是PC上一点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥A−EBC的 体积.‎ ‎19.(本小题满分 12 分)‎ 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:‎ 温度x/°C ‎21‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎32‎ 产卵数y/个 ‎6‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎57‎ ‎77‎ 经计算得:,,,,‎ ‎,线性回归模型的残差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1, 2, 3, 4, 5, 6.‎ ‎(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=x+(精确到0.1);‎ ‎(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.‎ ‎( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.‎ ‎( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数). ‎ 附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为 ‎=−;相关指数R2=.‎ ‎20.(本小题满分 12 分)‎ 已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的l倍(l>1),过点C(−1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.‎ ‎21.(本小题满分 12 分)‎ 已知函数(a∈R).‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若. 证明:当,且时,.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(−2,0),其倾斜角为a,在以原点O为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设函数的最大值为M,若不等式有解,求m的取值范围.‎ 绝密★启用前 试卷类型:A ‎2018年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷(文科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C ‎ D A C C D B C A C B ‎ D 提示:‎ ‎2.【解析】,|z|=,故选D.‎ ‎4‎ ‎1‎ O A x y --1‎ x+y=4‎ y=2‎ x−y=1‎ ‎4‎ ‎2‎ z=3x+y ‎3.【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)‎ 共4个,则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个.‎ 因此,数字2是这三个不同数字的平均数的概率是. 故选A.‎ ‎4.【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得A(2, 2),‎ 化目标函数z=3x+y为y= −3x+z,‎ 由图可知,当直线y= −3x+z过A时,直线在y轴上的截距 最小,z有最小值为z=3×2+2=8.故选C.‎ ‎5.【解析】由等差数列的性质得,a1+a9=a2+a8=10,S9=.故选C.‎ ‎6.【解析】抛物线的准线方程为,准线与轴的交点为,为等腰直角三角形,得,故点A的坐标为,由点在双曲线上,可得,解得,即,所以,故双曲线的离心率.故选D.‎ ‎7.【解析】:设f(x)的周期为T,由f(x1)=1,f(x2)=0,|x1 –x2|min= ,得 ‎,‎ 由f() =,得sin(p +j)=,即cosj=,又0<j<,∴j =,f(x)=sin(px).‎ 由,得.‎ ‎∴ f(x)的单调递增区间为故选B.‎ ‎8.【解析】由f(x)为奇函数,排除B,<1,排除A. 当x>0时,,,∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增,排除D,故选C.‎ ‎9.【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为,则,解之得a=3,则该塔中间一层灯盏数有3´23=24. 故选A.‎ ‎10.【解析】依题意,执行如图所示的程序框图可知初始S=2,当k=0时,S0=−1,k=1时,S1=,同理S2=2,S3=−1,S4=,…,可见Sn的值周期为3.∴当k=2017时,S2017=S1=,‎ 此时A B D M(E)‎ N C G F k=2018,退出循环. 输出S=. 故选C.‎ ‎11.【解析】:将正方体纸盒展开图还原成正方体,①如图知AF与GC 异面垂直,故①正确;②显然BD与GC成异面直线,连接EB,ED.‎ 则BM∥GC,在等边△BDM中,BD与BM所成的60°角就是异面 直线BD与GC所成的角,故②正确;③显然BD与MN异面垂直,‎ 故③错误;④显然GD⊥平面ABCD,所以在Rt△BDG中,∠GBD是 BG与平面ABCD所成的角,Rt△BDG不是等腰直角三角形.‎ 所以BG与平面ABCD所成的角不是为45 °,故④错误. 故选B.‎ x O ‎−2‎ ‎−1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ y ‎12.【解析】函数在区间[−2018,2018]上零点的个数,就是函数 的图象与的图象交点个数. 由的图象关于直线x= −2对称,得是偶函数,即.又∵函数是偶函数,∴,故,因此,是周期为2的偶函数.∵当x∈[0,1]时,,作出与图象如下图,‎ 可知每个周期内有两个交点,所以函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018´2=4036. 故选D.‎ 第二部分 非选择题(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.1 14. 15. 16. ‎ 提示:‎ O C x y B A ‎13.【解析】∵∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎14.【解析】由所求切线斜率,得曲线在点(1, ln2)‎ 处的切线方程为,即.‎ ‎15.【解析】把圆的方程化为标准方程为,得到圆心C 的坐标为(0, 6),圆的半径,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90°,‎ 且AC=BC=3,OC=6,则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120° O O1‎ D C B A 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为(写成1:2也对).‎ ‎16.【解析】以△ABC所在平面为球的截面,则由正弦定理得 截面圆的半径为,依题意得CD⊥平面ABC,‎ 故球心到截面的距离为,则球的半径为 ‎.所以球的体积为.‎ 三、解答题:本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过 程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解: (Ⅰ)法一:由已知及余弦定理得,整理得. …2分 ‎, ………………3分 又在△ABC中,0<C<p, ………………4分 ‎∴,即角C的大小为. .………………5分 法二:由已知及正弦定理得,‎ 又在△ABC中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分 ‎ ∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC, ‎ 即2sinBcosC= – sinB,又sinB≠0, ………………3分 B A D C ‎∴,又0<C<p, ………………4分 ‎∴,即角C的大小为. .………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),依题意得如图,在△ADC中,AC=b=,AD=,‎ 由正弦定理得, .………………7分 ‎∵在△ADC中,0<<p,C为钝角, ........………....………8分 ‎∴,故. .………………9分 ‎∵在△ABC中,AD是角A的平分线,∴, .……….……10分 ‎∴△ABC是等腰三角形,. .………………11分 故△ABC的面积. .…………….…12分 ‎18.解:(Ⅰ)证明:依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形,………1分 B A P E D C ‎∴∠BAD=∠ADC=120°. .…………........……2分 ‎∵ AD=DC,∴∠DAC=∠DCA=30°, .……………….........3分 ‎∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120°−30°=90°,即AB⊥AC.…...........…4分 ‎∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC,‎ ‎∴AB⊥平面PAC, ..........................………………...5分 又平面ABÌ平面EAB,‎ ‎∴平面EAB⊥平面PAC; ..........................……………...6分 ‎(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)及已知得,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=1,‎ ‎∴AC= AB∙tan60°=,BC=2AB=2,且AB⊥平面PAC,.........……………7分 ‎∴AB是三棱锥B−EAC的高,正△PAC的边长为. ...……………8分 ‎∵E是PC的中点,∴S△EAC=S△PAC=. ………10分 O F B A P E D C ‎∴三棱锥A−EBC的体积为...……………12分 ‎(Ⅱ)解法二:过P作PO⊥AC于点O,‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC,‎ ‎∴PO⊥平面ABC, ‎ 过E作EF⊥AC于点F,同理得EF⊥平面ABC,‎ ‎∴EF是三棱锥E−ABC的高,且PO∥EF, ………7分 又E是PC中点,∴ EF是△POC的中位线,故.‎ 由(Ⅰ)及已知得,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=1,‎ ‎∴BC=2AB=2, AC= AB∙tan60°=, 即正△PAC的边长为, ………….........…8分 ‎∴PO=, 故EF=. .............................................................................….........9分 在Rt△ABC中,S△ABC=. ….........………….........…10分 ‎∴三棱锥A−EBC的体积为. ...................12分 ‎19.解:(Ⅰ)依题意,n=6, ....……….……2分 ‎≈33−6.6´26=−138.6, ....…...................…………3分 ‎∴y关于x的线性回归方程为=6.6x−138.6. ....……………4分 ‎(Ⅱ) ( i )利用所给数据, , 得, 线性回归方程=6.6x−138.6‎ 的相关指数R2= .................….......6分 ‎∵0.9398<0.9522, .............................................….......…………7分 因此,回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x−138.6拟合效果更好. ....……..……8分 ‎( ii )由( i )得温度x=35°C时,=0.06e0.2303´35=0.06´e8.0605. ....……..……..…9分 又∵e8.0605≈3167, ......................................……….....……10分 ‎∴≈0.06´3167≈190(个). .....................................………...……11分 所以当温度x=35°C时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分 ‎20.解:(Ⅰ)所给直线方程变形为, …......……………1分 可知直线所过定点为. ...............………2分 ‎∴椭圆焦点在y轴, 且c=,依题意可知b=2,∴a2=c2+b2=9. ……………3分 椭圆C1的方程标准为. ………………4分 ‎(Ⅱ)依题意,设椭圆C2的方程为,A(x1,y1), B(x2,y2),………………6分 ‎∵l>1,∴点C(-1, 0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.‎ 当直线l垂直于x轴时,(不是零向量),不合条件;‎ 故设直线l为y=k(x+1) (A,B,O三点不共线,故k≠0), ……………..…7分 由得.‎ 由韦达定理得. ………………8分 ‎∵,而点C(−1, 0),‎ ‎∴(-1-x1, -y1)=2(x2+1, y2),∴y1= -2y2, ………………..…9分 即y1+y2= -y2 故. ………………10分 ‎∴△OAB的面积为 ‎. .......................……11分 上式取等号的条件是,即k=±时,△OAB的面积取得最大值. ‎ 所以直线的方程为或. ………………12分 ‎21. (Ⅰ)解:由已知得的定义域为(0, +∞), . ...........……1分 方程的判别式. …………....…......…2分 ‎①当时,△≤0,,此时,在(0, +∞)上为增函数;…………..............…3分 ‎②当时,设方程的两根为,‎ 若, 则, 此时, , 在(0, +∞)上为增函数; ……......…4分 若a>0,则x1<0<x2,此时, g(x)在(0, x2]上为减函数,在(x2, +∞)上为增函数,…..……5分 综上所述:当时,的增区间为(0, +∞),无减区间;‎ 当时,的减区间为,增区间为. ………....…...……6分 ‎(Ⅱ)证明:由题意知 ………………..........................................7分 ‎∴, …………….............................................…8分 ‎ 考虑函数, ‎ 则 ………………...............................................9分 所以x≠1时,,而 ………………................................................10分 故时,,可得,‎ 时,,可得, …………….................…...11分 从而当,且时,. ……………..................…12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.解:(Ⅰ)法一: 由曲线C的极坐标方程得,又 ‎∴曲线C的直角坐标方程为,即 ………....…1分 ‎∴曲线C是圆心为C(2, 0),半径为2的圆.‎ ‎∵直线l过点P(−2,0),当l的斜率不存在时,l的方程为x= -2与曲线C没有公共点,…2分 ‎∴直线l的斜率存在,设直线l:,即. ‎ 直线l与圆有公共点,则圆心C到直线l的距离 ...........………3分 解得 …...............………4分 ‎∵,∴的取值范围是 ....................…………5分 法二:由曲线C的极坐标方程得,又 ‎∴曲线C的直角坐标方程为, …....................................................………1分 ‎∵直线l经过点P(−2,0),其倾斜角为a,‎ ‎∴直线l的参数方程为(为参数), ……......................................……2分 将代入整理得:. .............….………3分 ‎∵直线l与曲线C有公共点,∴即或…....4分 ‎∵,∴的取值范围是. ....…….......................5分 ‎(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为,‎ 故其参数方程为 (为参数) . ……….............…7分 ‎∵M(x,y)为曲线C上任意一点,∴ …........8分 ‎∵,∴,‎ 因此,的取值范围是 ‎. ………….........................10分 法二:设. …………..........................6分 由(Ⅰ)知曲线C即圆C:, 依题意, 圆C与直线有交点,…7分 ‎∴圆心C到直线的距离, .................................……9分 解得, 即的取值范围是. ……............................... .................……10分 ‎23. 解:(Ⅰ)当时,,此时无解; ….......................……………1分 当时,,由解得;………….................……3分 当时,,此时恒成立. …………......................................……4分 综上,不等式的解集是. …………….....................................…5分 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ……………….......................................6分 易知函数的最大值M=8, ………………............................................7分 若有解,得有解. ………………............................................8分 即. …………….............................................…9分 因此,m的取值范围是. ……………...........................................…10分

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