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集宁一中西校区2017学年第一学期期末考试
高三年级理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（ ）
A.B.C.0 D.0或
2. 若复数满足（为虚数单位），则复数的模（ ）
A. B. C. D.
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（ ）
A. B.C. D.
5. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 已知满足条件，则目标函数从最小值变化到时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
7．执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像. 若对满足的，有，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为60o的直线L与抛物线在第一四象限分别交于A，B两点，则等于（ ）
A.3 B.C.D.2
11.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项的和，若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分·把答案填在题中的横线上·
13．直线（）与函数，的图象分别交于、两点，当最小时，值是。
14.若 且，则实数m的值为．
15. 已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是。
16. 四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PA底ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA=。
三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。共70分。）
17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
18.（本小题满分12分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
19 ·（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把ABD折起，折起后使ADC的余弦值为
(1)求证：平面ABD平面CBD;
(2)若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值
20.(本小题满分12分）已知平面上动点P（x,y）及两个定点A（一2，0），B（2，0），直线PA, PB的斜率分别为k1，k2且k1k2=
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N，当0MON（0为坐标原点）时，求点0到直线l的距离·
21.(本小题满分12分）已知函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）求f(x)在上的最大值和最小值.
考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆.
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）求圆被直线：所截得的弦长.
23． （本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲
设函数f(x)=若f(x)的最小值为1
(1)试求实数m的值。
(2)求证：
集宁一中西校区2017学年第一学期期末考试
高三年级理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
理科数学
一、 选择题
1D 2.A 3.B4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A11.D 12.C
二、填空题
13. 14. 1或-3 15.9 16.
三．解答题
17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；
（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.
试题解析：由题意知，
化简得，
即.
因为,
所以.
从而.
由正弦定理得.
由知,
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故 的最小值为.
18.解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
0
1
2
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
19. （1）省（详见微信群)
（2）
20.
d=
21.解：（1）=（x2+2x）ex +（x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex……2分
因为，令f′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4
当x＜﹣4时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数；…………………………5分
综上知f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和
（0，+∞）内为增函数…………………………………………………7分
(2)因为
由（1）知，上f（x）单调递减，在上f（x）单调递增
………………………………………………………9分
所以……………………………………………….10分
又f（1）=，f（-1）=，
所以………………………………………………12分
22.（1）圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ+）…………………………………….5分
（2）将θ=﹣代入圆C的极坐标方程ρ=4cos（θ+），得ρ=2，
所以，圆C被直线l：θ=所截得的弦长，可将θ=﹣代入极坐标方程求得为ρ=2．即弦长为2……………………………………………………10分
23.m=1详见数学组微信群。
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