北京市门头沟区2019届高三3月综合练习（一模）数学（理）试题.doc

北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ 1. 已知集合，，则等于　　 A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】解：集合， ， ． 故选：B． 先分别求出集合A，B，由此能求出． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ‎ 2. 复数z满足，那么是　　 A. B. C. 2 D. ‎【答案】A ‎【解析】解：， ． 故选：A． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． ‎ 3. 一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为　　 ‎ A. B. 8 C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：设棱柱的高为h， 由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4， 故底面三角形的面积是 由于其体积为，故有，得 由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为 故选：A． 此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可． 本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”． ‎ 1. 如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的　　 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由流程图可知： 第一个选择框作用是比较x与b的大小， 故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小， 条件成立时，保存最大值的变量 故选：A． 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量． 本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题． ‎ 1. 已知向量，满足，且其夹角为，则“”是“”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】解：，且其夹角为； 由得： ； ； 又； ； 即； ‎ 是的充分条件； 由得： ； ； ； ； 是的必要条件； 综上得，“”是“”的充分必要条件． 故选：C． 根据条件，由即可得出，进而得出，又知，从而可得出，这便得出“”是“”的充分条件；反过来，由即可得出，进而得出，从而得出“”是“”必要条件，这样即得出“”是“”的充要条件． 考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，余弦函数的图象，充分条件、必要条件及充要条件的概念． ‎ 1. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线， 连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ； 对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB垂直于平面MNQ； 对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行， 此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ； 对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为， 则AB不垂直于平面MNQ． 故选：D． 由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论． 本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题． ‎ 1. 某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人则不同的选派方法的种数是　　 A. 18 B. 24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地分派2名女生，有种情况， 若甲地分配1名女生，有种情况， 则甲地的分派方法有种， ‎ 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法， 则不同的选派方法的种数是； 故选：D． 根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地． ‎ 1. 若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为　　 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】解：当时，关于原点对称的函数为， 即，， 设，， 条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点， 则，， 当时，函数取得最大值， 当时，，． ‎ 由得，此时为增函数， 由得，此时为减函数， 即当时，函数取得极小值同时也是最小值， 作出当时，与的图象如图： 要使两个图象恰好有两个不同的交点， 则，即， 即， 即， 故选：C． 求出当时关于原点对称的函数，条件转化为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度考查学生的作图能力． ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ 1. 若x，y满足条件，则的最大值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解：由x，y满足条件作出可行域如图， 由，得， 由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大． ‎ 联立，解得． 目标函数的最大值为． 故答案为：2． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题． ‎ 1. 双曲线C：的渐近线方程是______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：双曲线的标准方程为： ，，可得， 又双曲线的渐近线方程是 双曲线的渐近线方程是 故答案为： 将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线的渐近线方程是，即可得到所求渐近线方程． 本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题． ‎ 2. 等比数列中，，则数列的通项公式______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：设等比数列的公比为q，，， ，， ‎ 解得． 数列的通项公式． 故答案为：． 设等比数列的公比为q，由，，可得：，，解出即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 1. 已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于两点A，B，则______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】解：由消去t可得，其参数方程的标准形式为：为参数， 由得，得， 联立得， 设A，B对应的参数为，， 则，， 所以． 利用直线参数方程中参数t的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． ‎ 1. 已知x，，求的最值． 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲： 乙： 你认为甲、乙两人解法正确的是______． 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】解：甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同； 已知x，，求的最小值． 甲：， 乙：． 故填甲． 乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误． 本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． ‎ 2. 一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动按逆时针方向圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间． Ⅰ当秒时点P离水面的高度______； Ⅱ将点P距离水面的高度单位：表示为时间单位：的函数，则此函数表达式为______．‎ ‎【答案】   ‎【解析】解：Ⅰ秒时，水轮转过角度为， 在中，，； 在，中，，， 此时点离开水面的高度为； Ⅱ由题意可知，， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 由条件得，其中； 将，代入，得， ； ‎ 所求函数的解析式为． 故答案为：Ⅰ，Ⅱ． Ⅰ根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离； Ⅱ由题意求出的值，然后结合时求出的值，求得函数的解析式． 本题考查了函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ 1. 在中，且满足已知． 求的大小； 若的面积为，，求的周长．‎ ‎【答案】解：中，， 由正弦定理可得， 整理可得， 又A为三角形内角，， 所以， 由B为三角形内角，可得； 由的面积为，即， 所以， 又， 由余弦定理得 ‎ ‎ ， 所以， 的周长为．‎ ‎【解析】根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得的值，从而求出B的值； 由的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求的周长． 本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题． ‎ 1. 在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：‎ 学校 A B C D 抽查人数 ‎50‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎“创城”活动中参与的人数 ‎40‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎15‎ 注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的． Ⅰ若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数； Ⅱ在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率； Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】解：Ⅰ该区共2000名高中学生， 由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为： ． Ⅱ设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”， 事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”， 则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生， ‎ 恰有1人参与“创城”活动的概率： ． Ⅲ将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人， 这3人参与“创城”活动人数， ， ， ， ， 的分布列为：‎ ‎ X ‎0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎  ‎  ‎  ‎  ，．‎ ‎【解析】Ⅰ由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数． Ⅱ设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：，由此能求出结果． ‎ Ⅲ将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数，由此能求出这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望． 本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． ‎ 1. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点． Ⅰ求证：． Ⅱ若． 求PC与平面BDF所成角的正弦值； 侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由． ‎ ‎【答案】证明：平面ABCD，平面ABCD， ， 四边形ABCD是菱形， ， 又，平面PAC，平面PAC， 平面PAC， 又平面PAC， ． 解：设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则0，，0，，，3，，， ，0，，， 设平面BDF的法向量为y，，则，即， 令可得，即2，， ，． 与平面BDF所成角的正弦值为，． 取PF的中点G，连接FG，CG， ，G分别是PD，PF的中点， ，又平面BDF，平面BDF， 平面BDF， ，O分别是AG，AC的中点， ，又平面BDF，平面BDF， 平面BDF， 又平面CEG，平面CEG，， 平面平面BDF， 侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平而BDF， 此直线被直线PA、PD所截线段为．‎ ‎【解析】证明平面PAC即可得出； 建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量，计算和的夹角的余弦值即可； ‎ 取PF的中点G，证明平面，即可得出结论． 本题考查了线面垂直的判定，面面平行的判定与性质，属于中档题． ‎ 1. 如图，已知椭圆C：，，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于D，E两点，且的周长为8，椭圆C的离心率为． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ在平面直角坐标系xOy中，已知点与点，过P的动直线不与x轴平行与椭圆相交于A，B两点，点是点B关于y轴的对称点． ，A，三点共线． ．‎ ‎【答案】解：Ⅰ的周长为8， ，即， ， ， ， 故椭圆C的方程为 ‎ Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线． 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 设，，则， ，， ，， ． 与共线，则Q，A，三点共线． 由可知Q，A，三点共线， ‎ ‎【解析】Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求； Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明． 由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题． ‎ 1. 已知在点处的切线与直线平行． Ⅰ求实数a的值； Ⅱ设 若函数在上恒成立，求实数b的最大值； 当时，判断函数有几个零点，并给出证明．‎ ‎【答案】解：Ⅰ函数，则， 由题意知时，，即a的值为1； Ⅱ， 所以， 当时，若，则，，单调递增，所以； 当时，若，令，解得舍去，， 所以在内单调递减，，所以不恒成立， 所以b的最大值为1； ，显然有一个零点为0， 设，则； 当时，无零点，所以只有一个零点0； 当时，，所以在R上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点， ‎ 所以有2个零点； 综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．‎ ‎【解析】Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值； Ⅱ求的导数，讨论时单调递增，时在内不单调递增，由此求得b的最大值； 化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况． 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题． ‎ 1. 给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”． Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”； Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．‎ ‎【答案】Ⅰ解：对于数列，，所以不是指数型数列． 对于数列，对任意n，，因为， 所以是指数型数列． Ⅱ证明：由题意，，是“指数型数列”， ，， ‎ 所以数列是等比数列，， ，数列是“指数型数列”． Ⅲ证明：因为数列是指数数列，故对于任意的n，， 有，， 假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当t为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 当t为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故也不能成立． 所以，对任意，不能成立， 即数列的任意三项都不成构成等差数列．‎ ‎【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可； Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”； Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可． 本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键． ‎