圆锥曲线
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即||＝b，则||＝3b.
在△AF2O中，||＝a , ||＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A.
2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，
可得|PF1||PF2|＝，
则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，
可得·c＝·，
6
∴e＝＝.
3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
答案 D
解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．
答案 (1，)∪(，＋∞)
解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，
令x＝－c，可得y＝±b＝±，
设A，B，D(0，b)，
6
可得＝，
＝，＝，
若∠DAB为钝角，则·b2＝c2－a2，
可得c20，
∴∠DBA不可能为钝角．
综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
5．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案 2
解析 方法一 特殊化，设MN⊥x轴，
则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.
方法二 由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，
则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
6
Δ＝8k2＋8>0.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝
＝.
直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则解得x2＝，y2＝，
则|OP|2＝x＋y＝，
又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，
所以＝2.
综上，＝2.
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
答案 ±
解析 由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，
所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
化为x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
6
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
7．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
由题意得≤1，
所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，
又因为00恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|
＝＝，
化简得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圆O的半径r＝＝，
所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.
6
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