密 封 线
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密 封 线 内 不 得 答 题
太原五中2018-2019学年度第二学期阶段性检测
高 三 数 学（理）
命题、校对：王志军、褚晓勇、凌 河（2019.4.11）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)
1．设集合，集合，则集合A∪B（ ）
A．(-∞,-1)∪(2,+∞) B． C．(-1,0) D．
2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为
A. B. C. D.
3.下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B． C． D．
4.若，，，则( )
A． B． C． D．
5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.若的展开式中x3的系数为80，其中n为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为( )
A．32 B．81 C．243 D．256
7.若，则( )
A． B． C．1 D．
8.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A． f(x)＝ B． f(x)＝ C． f(x)＝－ D． f(x)＝
9．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
10.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D．1
F
E
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
11.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ ）
A. B. C. D.
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12.关于函数，下列说法正确的是（ ）
（1）是的极大值点
（2）函数有且只有1个零点
（3）存在正实数，使得恒成立
（4）对任意两个正实数，且，若，则
A. (1)(2)(3)(4) B. (2)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为______ _
14. 曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为_____ _
15.利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand（）表示产生区间（0，1）上的随机数，P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是_____ _
16.设锐角三个内角，，所对的边分别为，，，
若，，则的取值范围为______ ．
三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（12分）已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若数列，求数列的前项和
18. （12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．
(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；
(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.
(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．
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19．（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2， ∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝， MP⊥AP.
(1)求PO的长；(2)求二面角A－PM－C的余弦值．
20. （12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点(0,b)．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．
21. （12分）已知函数，其导函数为．
（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；
(2)当时，若，，求的最大值。
说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值,及点P坐标。
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.
(1)当a0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( C )
A. B. C. D．1
如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，
即x0＝.设M(x′，y′)，由＝2，
得
化简可得
∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．
11.F
E
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ C ）
D
A. B. C. D.
解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与 B1重合时，三棱锥P-MNQ 的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥 P-MNQ的俯视图有选项D的可能.故选C.
12.关于函数，下列说法正确的是（ B ）
（1）是的极大值点
（2）函数有且只有1个零点
（3）存在正实数，使得恒成立
（4）对任意两个正实数，且，若，则
A. (1)(2)(3)(4)B. (2)(4)C. (2)(3) D. (3)(4)
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13.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为( B )
A．60° B．90°C．120° D．150°
因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.
14. 曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（A ）
A．2 B．C． D．
因为双曲线的一条渐近线为，，所以，因为，，
所以，，故选A．
15.利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand（）表示产生区间（0，1）上的随机数，P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是（ D ）
A. B. C . D.
16． 设锐角三个内角，，所对的边分别为，，，
若，，则的取值范围为__________．
解：由及余弦定理得，∴，∴．
又为锐角三角形，∴．
由正弦定理得，∴．由得，
∴，∴．∴的取值范围为．
17.已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列，求数列的前项和
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.
解：(Ⅰ)……①，
∴当时，②
①②得，∴.
又∵当时，，∴，∴.
(Ⅱ)，
18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．
(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；
(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.
(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．
[解] (1)由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，
故所求概率为P＝＝.
即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为.
（2）
(3)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴ 随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，
∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.
(1)求PO的长；(2)求二面角A－PM－C的余弦值．
解 (1)如图，连接AC，BD，因ABCD为菱形，
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则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.
以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
因∠BAD＝，故OA＝AB·cos＝，
OB＝AB·sin＝1，
所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，＝(0,1,0)，＝(－，－1,0)．
由BM＝，BC＝2知，＝＝，
从而＝＋＝，即M.设P(0,0，a)，a>0，
则＝(－，0，a)，＝.因为MP⊥AP，故·＝0，
即－＋a2＝0，所以a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.
(2)由(1)知，＝，＝，＝.
设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由n1·＝0，n1·＝0，得
故可取n1＝，
由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(1，－，－2)，
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－，
故所求二面角A－PM－C的余弦值为－.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点(0,b)．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．
解析:（1）椭圆方程为．
（2）设直线方程：，、，
由，得，所以，
由（1）知直线：，代入椭圆得，，得
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，由直线与线段相交于点，得，满足.
，
而与，知，，
由，得，所以，
四边形面积的取值范围．
21.已知函数，其导函数为．
（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；
(2)当时，若，，求的最大值。
解：（1）当时，，，，，
由题意得，即，
令，则，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，当时，，当时，，
则或时，在上有且只有一个零点．
（2）（参考2012年高考题答案）
由已知条件得ex-(m+1)x≥b.①
(i)若m+1
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