广东省2018年1月普通高中学业水平考试数学试卷Word版含解析.doc

www.ks5u.com ‎2018年1月广东省普通高中学业水平考试 数学试卷（B卷）‎ 一．选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知 故选B ‎2. 对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴选项错误 故选B ‎3. 已知函数，设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数 ‎∵‎ ‎∴‎ 故选C ‎4. 设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎∵复数的虚部为2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D ‎5. 设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵若函数存在零点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴函数存在零点的充分必要条件是 故选C ‎6. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于，若∥，则，因为，故错误；对于，因为，所以，则，故正确；对于，，，故错误；对于， ，故错误 故选B ‎7. 某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）‎ A. 6和9 B. 9和6 C. 7和8 D. 8和7 ‎ ‎【答案】A ‎∴男女生的比例为，‎ ‎∵用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动 ‎∴男生的人数为，女生的人数为 故选A 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎8. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图像可知该空间几何体为长方体，长和宽为2，高为1‎ 体积 故选C 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎9. 若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知作出可行域如图所示：‎ ‎，即，斜率为，在处截取得最小值为 故选D 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10. 如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误。‎ 故选D ‎11. 设的内角的对边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】的内角的对边分别为，且 ‎∴根据余弦定理得 ‎∵‎ ‎∴‎ 故选A ‎12. 函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）‎ A. 2和 B. 4和 C. 2和 D. 4和 ‎【答案】A ‎【解析】∵函数 ‎∴函数的最大值为2，最小正周期为 故选A ‎13. 设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. ‎ ‎14. 设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于，因为是定义在上的奇函数，所以，故正确；对于，因为函数 是定义域上的减函数，过原点，且，所以，故正确；对于，设，则当，有最小值为2，所以，因为函数是定义域上的减函数，所以，故正确；对于，因为，所以，因为函数是定义域上的减函数，所以，故错误 故选D ‎15. 已知数列的前项和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵当时，，当时 ‎∴‎ ‎∴首项，公比 故选C 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.‎ ‎16. 双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵由题可知 ‎∴‎ ‎∴离心率 故答案为 ‎17. 若，且，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎18. 笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一次为黑色的概率为，第二次为黑色的概率为 两次都是黑色的概率为 故答案为 ‎19. 圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立方程组解之得 ‎∵圆与直线相切 ‎∴圆的半径 故答案为 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．‎ 三．解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎20. 若等差数列满足，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由及，列出方程组即可求解和，从而求出的通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，进而求出数列的前项和.‎ 试题解析：（1）设等差数列的公差为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 又适合上式 ‎ ‎ ‎ 数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎21. 如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂直平分，且分别交于点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由垂直平分及为的中点可证，从而可证；（2）连接，由，为的中点可证，结合，即可证，从而得，再由，可得，即可证，从而得出结论.‎ 试题解析：（1）证明：垂直平分 ‎ 为的中点 又为的中点 ‎ 为的中位线 ‎ 又 ‎ ‎（2）证明：连接 ‎，为的中点 ‎ 垂直平分 ‎ 又， ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又， ‎ 又 ‎ 点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理等应用，此类题目是立体几何中的常见问题，解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎