数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把正确答案涂在答题卡上．
1.在复平内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线：，：，若：；，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B．-2 C. D．
5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值为（ ）
A． B． C. D．
6．如图所示的阴影部分是由轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
9．一个几何本的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）
A． B． C. D．
10．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11．设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，若对于，，，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下列四个函数为“三角形函数”的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，，若向量与垂直，则 ．
14．已知呈线性相关的变量，之间的关系如下表所示：
由表中数据，得到线性回归方程多，由此估计当为时，的值为 ．
15.展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为 ．
16．已知函数的图象关于点，对称，记在区间的最大值为，且在上单调递增，则实数的最小值是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列的前项相为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是的中点，是上的点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当是中点，且时，求二面角的余弦值．
19. 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市名男生的身高服从正态分布．现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分组：，，…，，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这名男生身高在以上（含）的人数；
（Ⅲ）在这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全市前名的人数记力，求的数学期望．
参考数据：若，则，
，．
20．已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．
21．已知．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若有2个不同零点，求以的取值范围；
（Ⅲ）对，求证：．
请考生在第22～23题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为，．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数）的距离最短，写出点的直角坐标．
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）若的解集为，求的值；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：
1-5：AACAB 6-10：ABDDC 11、12：CB
二、 填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）当时，∵ ①
∴ ②
①-②得：
∴；即，
又；得：，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列
∴，即，
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴．
，
，
．
18．证明：（Ⅰ）连接，
∵底面为菱形，，
∴是正三角形，
∵是中点，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，
∴平面平面．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则
则，，，，，
，
∴，，，
设是平面的个法向量，
则，取，得，
同理可求，平面的个法向量，
则．
观察可知，二面角的平面角为锐角
∴二面角的平面角的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为
，
高于全市的平均值（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为，比较接近全市的平均值）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人．
（Ⅲ）∵，
∴，．
所以，全市前名的身高在以上，这人中以上的有人．
随机变量可取，，，
于是
，
，
，
∴．
20．解：（Ⅰ）方程为：即为：
由题意得
整理得：
，（舍） ∴
椭圆：
（Ⅱ）设直线：，令得 ∴
∴
∴ ∴
∴方程为：
令得 ∴
设，则且
∴
∴ 即：
所以是定值为
21．解：（Ⅰ）当时
，，为减函数
，，为增函数
∴，无极大值
（Ⅱ）
当时，，只有个零点
当时，
，，为减函数
，，为增函数
而
∴当，，使
当时，∴ ∴
∴
取，∴
∴函数有个零点
当时，
令得，
①，即时
当变化时 ，变化情况是
∴
∴函数至多有一个零点，不符合题意
②时，，在单调递增
∴至多有一个零点，不合题意
③当时，即以时
当变化时，的变化情况是
∴，时
∴函数至多有个零点
综上：以的取值范围是
（Ⅲ）令
令行禁止
∴为增函数
取，，
∴存在唯一使，即
，，即，∴为减函数
，，即，∴为增函数
∴
∴对有
即
22．解：（Ⅰ）由，，可得
∴曲线的直角坐标方程为
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为，与相离，设点，且点到直线：的距离最短，则曲线在点处的切线与直线：平行，
∴，又
∴（舍）或，∴
∴点的坐标为
23．解：（Ⅰ），即，两边平方并整理得
，
所以，是关于的方程的两根．
由根与系数的关系得
解得．
（Ⅱ）因为，
所以若不等式恒成立，
只需，
当以时，，解得；
当时，，此时满足条件的不存在．
综上可得实数以的取值范围是．
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