湖南师大附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学Word版含答案.DOC

湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试 数　学 命题：高一数学备课组　　审题：高一数学备课组 时量：120分钟　满分：150分 得分：____________‎ 第Ⅰ卷(满分100分)‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若直线过点(1, 2)，(2, 2＋)，则此直线的倾斜角是 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎2．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2: (a＋2)x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则a的值为 A．2 B．1 C．0 D．－1‎ ‎3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为 ‎①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α.‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎4．在空间直角坐标系中，点B是A(1，2，3)在xOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于 A. B. C. D. ‎5．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ‎7．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是 A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0‎ C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0‎ ‎8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A. B. C. D.－1‎ ‎10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是 A．恒有DE⊥A′F B．异面直线A′E与BD不可能垂直 C．恒有平面A′GF⊥平面BCDE D．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 得 分 答 案 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．‎ ‎11．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝3, O′B′＝4，则△AOB的面积是________．‎ ‎12．在三棱锥A－BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．‎ ‎13．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．‎ 三、解答题：‎ ‎14．(本题满分10分)‎ 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的方程；‎ ‎(Ⅱ)求与直线l切于点(2，2)，圆心在直线x＋y－11＝0上的圆的方程．‎ ‎15．(本题满分12分)‎ 已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点A(26，1)，B(2，1)的距离之比等于5.‎ ‎(Ⅰ)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点P(－2，3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．‎ ‎16．(本题满分13分)‎ 如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，‎ PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：PA∥平面BDE；‎ ‎(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE；‎ ‎(Ⅲ)若二面角E－BD－C为30°，‎ 求四棱锥P－ABCD的体积．‎ 第Ⅱ卷(满分50分)‎ 一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如11＝2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于 A．21 B．22 C．23 D．24‎ ‎18．在四棱锥P－ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 A．直线的一部分 B．半圆的一部分 C．圆的一部分 D．球的一部分 答题卡 题 号 ‎17‎ ‎18‎ 得 分 答 案 二、填空题：本大题共1小题，每小题5分．‎ ‎19．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎20．(本题满分10分)‎ 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．‎ ‎(Ⅰ)求证：AC⊥BD1；‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为－1，A(x，y)是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.‎ ‎(Ⅰ)求动点A的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．‎ ‎22.(本题满分13分)‎ 已知函数f(x)＝log2(x＋1)．‎ ‎(Ⅰ)若f(x)＋f(x－1)＞0成立，求x的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，且当0≤x≤1时，g(x)＝f(x)，求g(x)在[－3，－1]上的解析式，并写出g(x)在[－3，3]上的单调区间(不必证明)；‎ ‎(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g(x)，若关于x的不等式g≥g在R上恒成立，求实数t的取值范围．‎ 湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)‎ 湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试 数学参考答案 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答 案 C D A D B C D C B B ‎1.C　【解析】利用斜率公式k＝＝tan θ，可求倾斜角为60°.‎ ‎2．D　【解析】由题知(a＋2)a＋1＝0a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，‎ ‎∴a＝－1.也可以代入检验．‎ ‎3．A　【解析】①正确．‎ ‎4．D　【解析】点A(1，2，3)在xOz坐标平面内的射影为B(1，0，3)，‎ ‎∴|OB|＝＝.‎ ‎5．B　【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝，由于23，解得a>6.‎ 三、解答题 ‎14．【解析】(Ⅰ)3x＋4y－14＝0‎ ‎(Ⅱ)(x－5)2＋(y－6)2＝25‎ ‎15．【解析】(Ⅰ)由题意，得＝5.‎ ＝5，‎ 化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.‎ 即(x－1)2＋(y－1)2＝25.‎ ‎∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，‎ 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．‎ ‎(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，‎ 此时所截得的线段的长为2＝8，‎ ‎∴l：x＝－2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为 y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，‎ 圆心到l的距离d＝，‎ 由题意，得＋42＝52，‎ 解得k＝.‎ ‎∴直线l的方程为x－y＋＝0.‎ 即5x－12y＋46＝0.‎ 综上，直线l的方程为 x＝－2，或5x－12y＋46＝0.‎ ‎16．【解析】(Ⅰ)证明：连接OE，如图所示．‎ ‎∵O、E分别为AC、PC中点，‎ ‎∴OE∥PA.‎ ‎∵OE面BDE，PA平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE.‎ ‎(Ⅱ)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.‎ 在正方形ABCD中，BD⊥AC，‎ 又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.‎ 又∵BD平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.‎ ‎(Ⅲ)取OC中点F，连接EF.‎ ‎∵E为PC中点，‎ ‎∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.‎ 又∵PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴EF⊥平面ABCD，‎ ‎∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.‎ ‎∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，‎ ‎∴∠EOF＝30°.‎ 在Rt△OEF中，‎ OF＝OC＝AC＝a，‎ ‎∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a.‎ ‎∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.‎ ‎17．C ‎18．C　【解析】因为AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD∥BC，且∠DAP＝∠CBP＝90°.又∠APD＝∠CPB，AD＝4，BC＝8，可得tan∠APD＝＝＝tan∠CPB，即得＝＝2，在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－3，0)、B(3，0)．设点P(x，y)，则有＝＝2，整理得x2＋y2＋10x＋9＝0.‎ 由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C.‎ ‎19．【解析】∵当x≥0时，f(x)＝；‎ 即x∈[0，1)时，f(x)＝log(x＋1)∈(－1，0]；‎ x∈[1，3]时，f(x)＝x－2∈[－1，1]；‎ x∈(3，＋∞)时，f(x)＝4－x∈(－∞，－1)；‎ 画出x≥0时f(x)的图象，‎ 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f(x)的图象，如图所示；‎ 则直线y＝，与y＝f(x)的图象有5个交点，则方程f(x)－＝0共五个实根，‎ 最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，‎ ‎∵x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，∴f(－x)＝log(－x＋1)，‎ 又f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝－log(－x＋1)＝log(1－x)－1＝log2(1－x)，‎ ‎∴中间的一个根满足log2(1－x)＝，‎ 即1－x＝2，解得x＝1－2，‎ ‎∴所有根的和为1－2.‎ ‎20．【解析】(Ⅰ)证明：如图，连结BD.‎ ‎∵正方体ABCD－A1B1C1D1，‎ ‎∴D1D⊥平面ABCD.‎ ‎∵AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.‎ ‎∵BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BDD1.‎ ‎∵BD1平面BDD1，∴AC⊥BD1.(5分)‎ ‎(Ⅱ)存在．答案不唯一，‎ 作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，‎ 且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．‎ 下面给出答案中的两种情况，‎ 其他答案只要合理就可以给满分．(10分)‎ ‎21．【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O1，显然圆Γ上距A距离最小的点在AO1上，于是依题意知AO1的长度等于A到l1的距离．‎ 显然A不能在l1的下方，若不然A到l1的距离小于AO1的长度，‎ 故有＝y－(－1)，‎ 即y＝x2 (x≠0)．(5分)‎ ‎(Ⅱ)若存在这样的点B，设其坐标为(0，t)，以AB为直径的圆的圆心为C，过C作l2的垂线，垂足为D.‎ 则C点坐标为，于是CD＝，‎ AB＝＝ 设所截弦长为l，‎ 则＝－CD2＝－，‎ 于是l2＝(12－4t)y＋8t－16，(10分)‎ 弦长不变即l不随y的变化而变化，‎ 故12－4t＝0，即t＝3.‎ 即存在点B(0，3)，满足以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．(12分)‎ ‎22．【解析】(Ⅰ)由f(x)＋f(x－1)＞0得log2(x＋1)＋log2x＞0，得，‎ 解得x＞，所以x的取值范围是x∈(5分)；‎ ‎(Ⅱ)当－3≤x≤－2时，‎ g(x)＝－g(x＋2)＝g(－x－2)＝f(－x－2)＝log2(－x－2＋1)＝log2(－x－1)，‎ 当－2＜x≤－1时，g(x)＝－g(x＋2)＝－f(x＋2)＝－log2(x＋3)，‎ 综上可得g(x)＝，‎ g(x)在[－3，－1]和[1，3]上递减；g(x)在[－1，1]上递增；(9分)‎ ‎(Ⅲ)因为g＝－g＝－f＝－log2，‎ 由(Ⅱ)知，若g(x)＝－log2，得x＝－或x＝，‎ 由函数g(x)的图象可知若g≥g在R上恒成立．‎ 设u＝＝－＋，‎ 当t＋1≥0时，u＝－＋∈，‎ 则u∈，则－＋≤，‎ 解得－1≤t≤20.‎ 当t＋1＜0时，u＝＋∈，‎ 则u∈，则－＋≥－，‎ 解得－4≤t＜－1.‎ 综上，故－4≤t≤20.(13分)‎