2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考
高中 二 年 数学（理） 科试卷
命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 林志成
考试时间：1月31日 完卷时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．抛物线的准线方程为（ ）
. . . .
2．已知向量，，且//，则实数（ ）
. . . .
3．下列命题错误的是（ ）
.“若，则”的否命题为“若，则”
.若为假命题，则均为假命题；
.命题“，”的否定为“，”
.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”；
4. 设，满足约束条件，则的最大值为（ ）
.2 . . .6
5．“”是“椭圆焦距为”的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
6．在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）
. . . .
7．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与2的等差中项为，则公比的值为 ( )
. . . .
8．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
.120° .90° .60° .30°
9．已知过双曲线焦点的直线与双曲线交于两点，且使的直线恰好有条，则双曲线的离心率为（ ）
. . . .
10．数列 满足，对任意的都有，则 ( )
. . . .
11．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的点，且直线、的斜率存在，则=（ ）
. . ． ．
12．设双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，记圆心为，的重心为，且满足，则双曲线的渐近线方程为( )
. . . .
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．命题“”是假命题，则实数a的取值范围为_________
14．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为_________________
15．在中，角所对的边分别为，且成等比数列，则的最小值为______________
16．在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________
①面；
②面面；
③点到面的距离为定值；
④线与面所成角的正弦值为定值.
三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知命题无实数解，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.
（Ⅰ）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若命题“或”为真，命题“且”为假，求实数的取值范围.
18．(本小题满分12分)
已知分别是的三个内角所对的边.
（Ⅰ）若的面积为，，且成等差数列，求的值；
（Ⅱ）若，且，试判断的形状.
19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中,为等腰直角三角形,
,且,分别为、、的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线上一点到焦点的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线经过点，求直线与抛物线有两个公共点时的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得二面角为直二面角.
（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）问：在线段DB上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，满足.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知两点在曲线上，记，，若，为坐标原点，试探求的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考
高二数学(理科)参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
D
A
C
C
B
D
A
C
D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、①②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17、解： （Ⅰ）命题：，得 ……………………………2分
依题意得为真命题……………………………………………………………………3分
所以，的取值范围为 …………………………………………………………4分
（Ⅱ）命题：，得 ………………………………6分
依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分
若真假，则，得或 …………………8分
若假真，则，此时无解 ……………………………………9分
所以，实数的取值范围为 …………………………………………10分
18、解：（Ⅰ）成等差数列，，…………………………1分
又 ………………………………………………………2分
，解得 ………………………………4分
由余弦定理得，= …………………………………6分
（Ⅱ）根据余弦定理，由，得， ，
是以的直角三角形， ………………………………………………10分
，=， 故是等腰直角三角形…………12分
19、解: （Ⅰ）方法一：设的中点为，连接，则,
∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分
∴………………………………………………………………………………4分
又, ∴面． ……………………………6分
法二：如图，以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
令，则, …2分
，面的一个法向量为 ……………………………3分
G
F
D
E
A
B
C
B
1
C
1
A
1
∵，∴ ………………………………………………………5分
又∵，∴∥平面．………………………………… ……6分
（Ⅱ）,,
∴
∴ ,
∵ ∴面
∴平面的一个法向量为…………………………………………8分
设平面的法向量为，则由，即.
令，则 …………………………………………9分
……………………………………………………11分
∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分
20、解：（1）抛物线
∴抛物线焦点为，准线方程为， …………………………………1分
∵点到焦点距离为，∴，解得， ……………………3分
∴抛物线的方程为 …………………………………………………………4分
（2）设直线方程为： ……………………………………………5分
由得： …………………………………………7分
当，即时，由，即时，直线与抛物线相交，有两个公共点； ……………………………………………11分
所以，当，且时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………12分
21、（I）【证明】在图1的长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，
∴AM＝BM＝2，所以AM2＋BM2＝AB2∴BM⊥AM …………………………………1分
在图2中，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM …………………………………………………………………………3分
∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM …………………………………………………………4分
（II）【解】取AM中点O，连接则
取AB的中点F，连接，则，由（I）得⊥平面ADM
如图，建立空间直角坐标系O－xyz ………………………………………………………6分
则A(1，0，0)，B(－1，2，0)，D(0，0，1)，M(－1，0，0)
则，设
则 …………………………………………………7分
设平面AME的一个法向量为＝(x，y，z)
则，即 …………………………………8分
取y＝1，得x＝0，，所以＝(0，1，) ………………………9分
设直线与平面所成角为
则，即
化简得：，解得或（舍） ……………………11分
存在点E为BD的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为…12分
22、解：（Ⅰ）设，
则，所以 …… 1分
因为=4，所以 …………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………3分
椭圆的标准方程为 ……………………………………………………4分
（Ⅱ），直线的斜率存在，设直线的方程为：
与椭圆联立，得：
直线与椭圆有两个交点，
解得： ……………………………………………………………………5分
由韦达定理得： …………………………………………………6分
由（Ⅰ）得，则，
由，得，得，
得：，把韦达定理代入得：…8分
又原点到直线的距离 ……………………………………………9分
所以
为定值…11分
所以的面积为定值1 …………………………………………………………12分
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