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第一学期学分认定考试
高三数学(文)试题
2018．01
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
公式：1．线性回归方程的系数公式
2．独立性检验统计量
3．临界值表：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．z为虚数，i为虚数单位，若
A． B． C． D．
2．已知集合，则下列说法错误的是
A． B． C． D．
3．数列为等差数列，为其前n项和，的最大值为
A．477 B．456 C．459 D．432
4．阅读右侧框图，输出的结果为
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，动点，则z的最大值为
A．0 B． C．1 D．
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为3，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为
A．2 B．3 C． D．
7．已知，则对任意实数，不等式恒成立的概率为
A. B. C. D.
8．三棱锥平面ABC，底面,
的外接球的表面积为
A． B． C． D．
9．已知函数对称中心和最近的对称轴之间的距离为，将图象向左平移个单位，所得新函数的解析式为
A. B.
C. D.
10．抛物线的焦点恰好是双曲线的实轴端点，又双曲线的离心率为2，则实数n的值为
A．1 B． C． D．
11．已知是数列的前n项和，的通项公式是
A. B. C. D.
12．已知集合，
若，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．已知向量的夹角等于___________．
14．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题：
①若；②若的必要条件；
③若．
其中错误命题的序号是______________．(把所有错误命题的序号都填上)
15．已知函数，则实数m的取值范围是______.
16．函数，函数，已知函数的图象在处恰好与函数的图象相切，则________．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．
第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．
17．(本小题满分12分)
已知角C是中的锐角，且
（I）求角C的值；
（II）若分别是角A,B,C的对边，且，求的值.
18．(本小题满分12分)
某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共20人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计如下表：
(I)历次模拟平均成绩在70分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力”
请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列4*4列联表，请计算K2的观测值，并对照以下临界值表，分析说明是否有95％的把握认为是否具有潜力与性别有关．
4*4列联表
(Ⅱ)集训队参加正式比赛前一阶段时间内，需要进行5次模拟训练，现已知某队员的前四次模拟考试成绩列表为
设考试次序为x，对应模拟考试成绩为y，试运用所学知识，求y与x之间的关系式；并预测该考生第5次考试的考试分数.
19．(本小题满分12分)
已知ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2BC=4，与平面PDC所成的角为，且.
(I)求证：平面平面PBD；
(Ⅱ)求三棱锥的体积．
20．(本小题满分12分)
动圆P过内切；直线
（I）求动圆圆心P的轨迹C的标准方程；
（II）设直线l与轨迹C交于A、B两点，G为A、B的中点，，是否存在实数m，使成立？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知
(I)分析判断函数在定义域上的单调性情况；
(II)若，证明：方程上没有零根．
(其中e为常数，e约为2.7182…)
请考生在第22，23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在以O为原点，以x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为：；在平面直角坐标系，曲线的方程为(其中为参数)
(I)把曲线化为普通方程，说明所表示的曲线是什么；把点A用极坐标表示出来；
(Ⅱ)求点A到曲线上点的最小距离；判断和的位置关系，如相交，求出相交弦的长．
23．【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)
已知函数
(I)设，解不等式；
(Ⅱ)设，若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
第一学期学分认定考试
高三数学（文）参考答案及评分标准2018.01
公式: 1.线性回归方程的系数公式
2. 独立性检验统计量,其中
0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
3. 临界值表:
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5 BDCBA 6-10ACDAD 11-12.BＣ
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13． 14．①②③ 15． 16．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．
第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．
17．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)
………………3分
,即,得
因为,所以,
所以,只能,所以………………………………6分
(Ⅱ) 因为
所以 (1)
又因为
所以 (2)
联立(1)(2)
所以或…………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 列联表
具有潜力
不具潜力
总计
男生
女生
总计
…………………………………………3分
由,公式的观测值计算
结果约为…………………….5分
无关的可能性至少
所以没有的把握认为是否具有潜力与与性别有关………………6分
(Ⅱ) 考试次序为，对应模拟考试成绩为，设变量对应的点为
则可得到四组观测点为
由点的特点,可分析其大体满足直线性回归关系
可计算为……………………………7分
设,系数为………10分
将代入,得,所以,回归直线方程………11分
对第五次考试成绩进行预测,代入,得
预测该考生第次考试的考试分数为分…………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明: (Ⅰ) 平面,所以
又,
所以平面
是与平面的交点
所以即为与平面所成的角
,解得
又因为
解得………………………………………………4分
在梯形中,易求出
又
而,所以
所以………………………………6分
又,
所以平面
又平面
所以平面平面……………………7分
(Ⅱ) 三棱锥的体积等于三棱锥的体积
…………10分
平面
所以………………12分
20．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) 动圆过
所以动圆的半径等于
圆的圆心为,半径为,动圆与圆内切, 在圆的内部,可分析得到动圆在圆内与圆内切,
所以
所以……………2分
所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆,其中,所以
根据焦点在轴上的椭圆的标准方程,可得轨迹的标准方程为
………………………………5分
(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,
整理得到:..............6分
其中,解得:(2)
设,由(1),得………7分
则,将代入
得:,即………………………9分
若存在实数,使成立,由角平分线的性质,得
,得的斜率…………………10分
,所以,解得:,符合(2)式要求,
由此可得:当时, 成立…………………12分
21．（本小题满分12分）
(Ⅰ)解：函数的定义域为
又
………………………………1分
(1)当时则
可以看出，当时，；当时，；
所以，时，函数在区间上单调递减；在上单调递增………2分
(2)当时，
(i)若，则，，当时，；当时，
所以得时，在上单调递增；在上单调递减；
（ii）若,则，解不等式，得或
解不等式，得
所以得：时，函数在区间上单调递减；在区间上分别单增.
(iii)当时，，在定义域上，总有
所以此时，在定义域上，函数恒为单调递增函数
（iv）当时，，解不等式，得或；
解不等式，得；
所以，当时，得函数在和上分别单调增；在单调递减；
………………………………………………………5分
综上，当时，在上单调递增；在上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减；在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；在上分别单增.
当时，在定义域上，函数恒为单调递增函数
当时，函数在和上分别单调增；在单调递减.
……………………………………………………………6分
(Ⅱ) 证明： 因为，所以
由(Ⅰ)得，此时函数在上单调递减；在上分别单增.
列出在上单调性情况分析如下表：
单调递增
极大值
单调递减
由图可以看出，，函数单调递增；时，函数单调递减；
当时，函数取得极大值，也是最大值，………………………9分
因为，，所以；又
所以恒成立
由此，在上，恒成立…………11分
根据连续函数根的存在性，方程在上，不可能有根存在…………12分
请考生在第22,23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目. 如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
解: (Ⅰ) 曲线的方程为:
展开,即,
由可得
,也即
所以曲线的方程为
为过的直线…………………3分
设
因为点,得
所以,所以点的极坐标为………………………5分
(Ⅱ) 曲线的方程为
整理得
表示以为圆心,以为半径的圆
点到圆心的距离为
所以点在圆外,点到圆上的点的距离有最小值
且……………………………7分
所以曲线的方程为
由点到直线的距离公式,计算出圆心到直线的距离为…………………………8分
所以直线与圆相交,设相交于
所以
综上, 点到圆上的点的距离最小值为;
直线与圆相交, 相交弦长为………………………10分
23. [选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）
解: (Ⅰ)时, 不等式即
(i)如果,则,
原不等式可化为,即,
所以此时解集为
(ii) 如果,则,
原不等式可化为,得
所以此时解集为
(iii) 如果,,
原不等式可化为,得
所以此时解集为
综合(i)(ii)(iii)可得：解集为
.................................................................5分
(Ⅱ)时，
不等式即：
也即：
设
其中等号当且仅当成立
由此，对任意实数，有最大值，…………7分
恒成立
所以，即
解这个一元二次不等式，得：或
综上，,使不等式对任意实数恒成立的实数的取值范围或………………………………10分
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