河南省许昌市魏都区2019年中考数学一模试题（一，含解析）.doc

河南省许昌市魏都区2019年中考数学一模试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．若2是一元二次方程x2+mx﹣‎4m＝0的一个根，则另一个根是（　　）‎ A．﹣4 B．‎4 ‎C．﹣6 D．6‎ ‎2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 ‎ B．钝角三角形 ‎ C．锐角三角形 ‎ D．锐角三角形或钝角三角形 ‎4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（　　）‎ A．4 B．‎6 ‎C．8 D．9‎ ‎5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结OD，AC，若∠CAO＝70°，则∠BOD的度数为（　　）‎ A．110° B．140° C．145° D．150°‎ ‎6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是（　　）‎ 22‎ A．﹣1＜x＜5 B．x＞‎5 ‎C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5‎ ‎7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）‎ A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 ‎ C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 ‎8．若抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（　　）‎ A．抛物线开口向下 ‎ B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0） ‎ C．当x＝1时，y有最大值为0 ‎ D．抛物线的对称轴是直线x＝‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（　　）‎ 22‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）‎ ‎11．方程x2+3x+1＝0的解是：x1＝　 　，x2＝　 　．‎ ‎12．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，若MO＝5，则ON＝　 　．根据图象猜想，线段MN的长度的最小值　 　．‎ ‎13．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为　 　．‎ ‎14．小强很喜欢操作探究问题，他把一条边长为‎8cm的线段AB放在直角坐标系中，使点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，点P为线段AB的中点．在平面直角坐标系中进行操作探究：当点B从点O出发沿x轴正方向移动，同时顶点A随之从y正半轴上一点移动到点O为止．小强发现了两个正确的结论：‎ ‎（1）点P到原点的距离始终是一个常数，则这个常数是　 　cm；‎ ‎（2）在B点移动的过程中，点P也随之移动，则点P移动的总路径长为　 　cm．‎ 22‎ ‎15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是　 　．‎ 三．解答题（共8小题，满分75分）‎ ‎16．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．‎ ‎17．2018年6月，宁波全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是红色：有害垃圾；蓝色：可回收垃圾；绿色：厨余垃圾；黑色：其他垃圾．‎ ‎（1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，问他能正确投放垃圾的概率是　 　．‎ ‎（2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入其他垃圾桶．问：两袋垃圾都投放错误的概率？请画出树状图或列表说明理由．‎ ‎18．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）求tan∠CAB的值．‎ 22‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．‎ ‎（1）请直接写出点C的坐标及k的值；‎ ‎（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．‎ ‎20．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．‎ ‎（1）求∠BAD的度数；‎ ‎（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？‎ ‎21．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面‎2m时，水面宽‎4m，建立如图所示的平面直角坐标系：‎ ‎（1）求拱桥所在抛物线的解析式；‎ ‎（2）当水面下降‎1m时，则水面的宽度为多少？‎ 22‎ ‎22．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）‎ 探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．‎ 拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，CE＝4，则DE的长为　 　．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；‎ ‎（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 22‎ ‎2019年河南省许昌市魏都区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．【分析】将x＝2代入方程求出m的值，得到关于x的方程后解之可得．‎ ‎【解答】解：将x＝2代入方程，得：4+‎2m﹣‎4m＝0，‎ 解得：m＝2，‎ 则方程为x2+2x﹣8＝0，‎ ‎∴（x﹣2）（x+4）＝0，‎ 解得：x＝2或x＝﹣4，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎2．【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是中心对称图形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎3．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵sinA＝，cosB＝，‎ ‎∴∠A＝45°，∠B＝60°，‎ ‎∴∠C＝75°，‎ ‎∴△ABC的形状是锐角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．‎ ‎4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，证明△ADE∽△ABC 22‎ ‎，根据相似三角形的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴AB＝3AD＝6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．‎ ‎5．【分析】根据题意求出∠C的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，根据邻补角的概念求出答案．‎ ‎【解答】解：∵CD⊥AB，∠CAO＝70°，‎ ‎∴∠C＝20°，‎ ‎∴∠AOD＝40°，‎ ‎∴∠BOD＝140°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．‎ ‎6．【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x＝2，‎ 所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），‎ 所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．‎ ‎7．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．‎ 22‎ ‎【解答】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，‎ ‎∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点最适当．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．‎ ‎8．【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，A选项错误；‎ B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y＝0求出x值，由此可得出抛物线与x轴的交点为（1，0）、（2，0），B选项错误；‎ C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；‎ D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，D选项正确．‎ 综上即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、∵a＝1＞0，‎ ‎∴抛物线开口向上，A选项错误；‎ B、∵抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），‎ ‎∴c＝2，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2．‎ 当y＝0时，有x2﹣3x+2＝0，‎ 解得：x1＝1，x2＝2，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（2，0），B选项错误；‎ C、∵抛物线开口向上，‎ ‎∴y无最大值，C选项错误；‎ D、∵抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝，D选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．‎ 22‎ ‎9．【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．‎ ‎【解答】解：连接AC，BD，AC与BD、x轴分别交于点E、F．‎ 由已知，A、B横坐标分别为1，4‎ ‎∴BE＝3‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线 ‎∴S菱形ABCD＝4×AE•BE＝‎ ‎∴AE＝‎ 设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）‎ ‎∵点A、B同在y＝图象上 ‎∴4y＝1•（y+）‎ ‎∴y＝‎ ‎∴B点坐标为（4，）‎ ‎∴k＝5‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．‎ ‎10．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝72°，‎ 22‎ ‎∵BC＝BE，‎ ‎∴∠C＝∠BEC＝72°，‎ ‎∴∠EBC＝36°，‎ ‎∴∠ABE＝∠A＝36°，‎ ‎∵∠DBE＝72°，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝36°，‎ ‎∴BD∥AE，‎ ‎∴△AEF∽△BDF，‎ ‎∴＝（）2，‎ 设BC＝BE＝AE＝x，‎ ‎∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，‎ ‎∴△CBE∽△CAB，‎ ‎∴BC2＝CE•CA，‎ ‎∴x2＝（2﹣x）2，‎ ‎∴x2+2x﹣4＝0，‎ ‎∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，‎ ‎∴＝（）2＝‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．‎ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）‎ ‎11．【分析】套用求根公式列式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵a＝1、b＝3、c＝1，‎ 22‎ ‎∴△＝9﹣4×1×1＝5＞0，‎ 则x＝，‎ 即x1＝、x2＝，‎ 故答案为：、．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎12．【分析】由双曲线的对称性知ON＝OM，可求ON的长，求线段MN的长度可转化为求OM的最小值，列出OM距离的求解式子，求式子的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点 ‎∴点M与点N关于原点对称，‎ ‎∴OM＝ON＝5‎ 故答案为：5，‎ 设点M的坐标为（x，﹣），‎ 则OM＝，‎ ‎∵x2+﹣2＝（x﹣）2≥0‎ ‎∴x2+≥2，‎ ‎∴OM的最小值为，‎ 由双曲线的对称性可知ON＝OM，故MN的最小值为2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，两点距离公式，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．‎ ‎13．【分析】如图，找出格点D、E，连接CD、AD，易知△ACD是直角三角形，A、C、E三点共线，然后勾股定理逆定理可判断△AEB是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：如图，找出格点D、E，连接CD、AD，‎ 易知△ACD是直角三角形，‎ 22‎ ‎∴A、C、E三点共线，‎ 连接BE，‎ 由勾股定理可知：AB2＝1+9＝10，AE2＝1+1＝2，BE2＝4+4＝8，‎ ‎∴AB2＝AE2+BE2，‎ ‎∴△ABE是直角三角形，‎ ‎∴cos∠BAC＝＝＝，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识．‎ ‎14．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上一半，可求点P到原点的距离 ‎（2）由题意可发现点P是以O为圆心，OP为半径的圆上，可求点P移动的总路径长．‎ ‎【解答】解：（1）连接OP，‎ ‎∵∠AOB＝90°，点P是AB的中点 ‎∴OP＝AB＝4‎ ‎（2）∵点P是以O为圆心，OP为半径的圆上 ‎∴点P移动的总路径长为×2×4π＝2π ‎【点评】本题考查了点的轨迹，关键是找到点的轨迹．‎ ‎15．【分析】过M作MF⊥BC于F，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形ABFM是矩形，得到BF＝AM，FM＝AB＝6，根据折叠的性质得到AM＝ME，设AM＝x，则EF＝BF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过M作MF⊥BC于F，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠DAB＝∠B＝90°，‎ ‎∴四边形ABFM是矩形，‎ 22‎ ‎∴BF＝AM，FM＝AB＝6，‎ ‎∵将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，‎ ‎∴AM＝ME，‎ 设AM＝x，则EM＝BF＝x，‎ ‎∴EF＝x﹣4，‎ 在Rt△MEF中，ME2＝EF2+MF2，‎ ‎∴x2＝（x﹣4）2+62，‎ 解得：x＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ 三．解答题（共8小题，满分75分）‎ ‎16．【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a＝4为底长时，由根的判别式△＝0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c＝a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．‎ ‎【解答】解：当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：42﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，‎ 解得：k＝，‎ 当k＝时，原方程为x2﹣6x+8＝0，‎ 解得：x1＝2，x2＝4，‎ ‎∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；‎ 当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，‎ 解得：k＝，‎ ‎∴b+c＝2k+1＝4．‎ 22‎ ‎∵b+c＝4＝a，‎ ‎∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．‎ ‎∴△ABC的周长为10．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．‎ ‎17．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；‎ ‎（2）记有害垃圾为A，可回收垃圾为B，厨余垃圾为C，其他垃圾为D，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）他能正确投放垃圾的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎（2）记有害垃圾为A，可回收垃圾为B，厨余垃圾为C，其他垃圾为D，‎ B C D A ‎﹣﹣‎ ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎﹣﹣‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎﹣﹣‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎﹣﹣‎ 由表可知共有12种等可能结果，其中两袋垃圾都投放错误的有7种结果，‎ ‎∴两袋垃圾都投放错误的概率为．‎ ‎【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎18．【分析】（1）可以证明OC2+PC2＝OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线 ‎（2））AB是直径，得∠ACB＝90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB＝．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OC、BC ‎∵⊙O的半径为3，PB＝2‎ ‎∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5‎ 22‎ ‎∵PC＝4‎ ‎∴OC2+PC2＝OP2‎ ‎∴△OCP是直角三角形，‎ ‎∴OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵AB是直径 ‎∴∠ACB＝90°‎ ‎∴∠ACO+∠OCB＝90°‎ ‎∵OC⊥PC ‎∴∠BCP+∠OCB＝90°‎ ‎∴∠BCP＝∠ACO ‎∵OA＝OC ‎∴∠A＝∠ACO ‎∴∠A＝∠BCP 在△PBC和△PCA中：‎ ‎∠BCP＝∠A，∠P＝∠P ‎∴△PBC∽△PCA，‎ ‎∴‎ ‎∴tan∠CAB＝‎ ‎【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形是解决问题的关键．‎ ‎19．【分析】（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，利用旋转的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再证明△ABO≌△BCH得到CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，则C（4，1），然后把C点坐标代入y＝中可计算出k的值；‎ ‎（2）画出过点C的反比例函数y＝的草图，结合条件点P在图象G 22‎ 上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；‎ ‎（3）由Q（0，m），得到OQ＝m，得到M（，m），N（‎3m，m），根据 点M在点N左侧，列不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，‎ ‎∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，‎ ‎∴BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，‎ ‎∴∠BAO＝∠CBH，‎ 在△ABO和△BCH中，‎ ‎∴△ABO≌△BCH（AAS），‎ ‎∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，‎ ‎∴C（4，1），‎ ‎∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，‎ ‎∴k＝4×1＝4；‎ ‎（2）过O作OP∥BC交y＝的图象于点P，过P作PG⊥x轴于G，‎ ‎∵∠POG＝∠OAB，‎ ‎∵∠AOB＝∠PGO，‎ ‎∴△OAB∽△OHP，‎ ‎∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，‎ ‎∵点P在y＝上，‎ ‎∴3yP•yP＝4，‎ ‎∴yP＝，‎ ‎∴点P的坐标为（2，）；‎ ‎（3）∵Q（0，m），‎ ‎∴OQ＝m，‎ ‎∵OM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，‎ 22‎ ‎∴M（，m），N（‎3m，m），‎ ‎∵点M在点N左侧，‎ ‎∴＜‎3m，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m＞．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．‎ ‎20．【分析】（1）根据方向角的定义可知∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，由此即可解决问题；‎ ‎（2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．求出AC的长即可判断；‎ ‎【解答】解：（1）∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，‎ ‎∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°．‎ ‎（2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．‎ ‎∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°．‎ ‎∴∠ABD＝∠BAD．‎ ‎∴BD＝AD＝12海里．‎ ‎∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，‎ ‎∴AC＝AD•cos∠CAD＝≈10.392＞8，‎ 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ 22‎ ‎21．【分析】（1）由已知得到点B、C坐标，由待定系数法求函数解析式；‎ ‎（2）当水位下降‎1m时，设纵坐标为﹣1，求出点坐标，得到水面宽度．‎ ‎【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y＝ax2+b（a≠0）‎ ‎∵当拱顶离水面‎2m时，水面宽‎4m ‎∴点C（0，2），点B（2，0）‎ 代入得：‎ 解得 ‎∴拱桥所在抛物线的解析式为y＝﹣‎ ‎（2）当水位下降‎1m时，水位纵坐标为﹣1‎ 令y＝﹣1‎ 则﹣1＝﹣‎ 解得x＝±‎ ‎∴水面宽度为 ‎【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标．‎ ‎22．【分析】感知：先判断出，∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；‎ 探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；‎ 拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC＝AB＝6；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．‎ ‎【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，‎ ‎∴∠APB+∠DPC＝90°，‎ ‎∵∠B＝90°，‎ ‎∴∠APB+∠BAP＝90°，‎ ‎∴∠BAP＝∠DPC，‎ ‎∵AB∥CD，∠B＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠B＝90°，‎ ‎∴△ABP∽△PCD．‎ 22‎ 探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，‎ ‎∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．‎ ‎∵∠B＝∠APD，‎ ‎∴∠BAP＝∠CPD．‎ ‎∵∠B＝∠C，‎ ‎∴△ABP∽△PCD，‎ 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，‎ ‎∴，‎ ‎∵点P是边BC的中点，‎ ‎∴BP＝CP＝3，‎ ‎∵CE＝4，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD＝，‎ ‎∵∠B＝∠C＝45°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，‎ 即AC⊥AB且AC＝AB＝6，‎ ‎∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝，AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2，‎ 在Rt△ADE中，DE＝＝＝．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD．‎ ‎23．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；‎ ‎（2）先求出直线AE的解析式为y＝x+1，作DG⊥x轴，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+‎2m﹣3），则F（m， m+1），DF＝﹣m2﹣m+4，根据S△ADE＝S△ADF+S△DEF可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；‎ ‎（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线x＝﹣1，据此设P（﹣1，n），由A（﹣3，0），E（0，1）知AP2＝4+n2，AE2＝10，PE2＝（n﹣1）2+1，再分AP＝AE，AP＝PE及AE＝PE 22‎ 三种情况分别求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；‎ ‎（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∵过点A（﹣3，0），E（0，1），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AE解析式为y＝x+1，‎ 如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，‎ 设D（m，m2+‎2m﹣3），则F（m， m+1），‎ ‎∴DF＝﹣m2﹣‎2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，‎ ‎∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF ‎＝×DF×AG+DF×OG ‎＝×DF×（AG+OG）‎ ‎＝×3×DF ‎＝（﹣m2﹣m+4）‎ 22‎ ‎＝﹣m2﹣m+6‎ ‎＝﹣（m+）2+，‎ ‎∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．‎ ‎（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，‎ 设P（﹣1，n），‎ ‎∵A（﹣3，0），E（0，1），‎ ‎∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，‎ ‎①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，‎ ‎∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；‎ ‎②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，‎ ‎∴P（﹣1，﹣1）；‎ ‎③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，‎ ‎∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；‎ 综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点．‎ 22‎