第5节 向心加速度
1．圆周运动是变速运动，故圆周运动一定有加速度，
任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加
速度叫向心加速度。
2．向心加速度的大小为an＝＝rω2，向心加速度方向
始终沿半径指向圆心，与线速度垂直。
3．向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反
映了速度方向变化的快慢。
一、 感受圆周运动的向心加速度
1．圆周运动必有加速度
圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度。
2．匀速圆周运动的加速度方向
实例
地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动
光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动
受力
分析
地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即为地球轨迹的圆心
小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心
加速度
分析
由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心
二、向心加速度
1．定义
做匀速圆周运动的物体具有的指向圆心的加速度。
2．大小
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(1)an＝；(2)an＝ω2r。
3．方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。
1．自主思考——判一判
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。(×)
(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)
(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。(√)
(4)根据a＝知加速度a与半径r成反比。(×)
(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比。(×)
2．合作探究——议一议
如图551所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
图551
(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向一定指向圆心吗？
提示：小球的向心加速度方向时刻指向圆心，方向时刻改变，因此，小球的向心加速度不是恒定的。
(2)若手握绳子的位置不变，增加小球的转速，则它的向心加速度大小如何变化？
提示：根据a＝ω2r可知，当半径不变时，角速度变大时，加速度a也变大。
对向心加速度的理解
1．物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢。
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。
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3．圆周运动的性质
不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动。
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
解析：选C 做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确。
2．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
解析：选B 向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。
3．[多选]关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度恒定
D．向心加速度的方向时刻发生变化
解析：选ABD 向心加速度只改变线速度的方向，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A正确；向心加速度的方向与速度的方向始终垂直，所以向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；向心加速度大小a＝，由于v的大小不变，故向心加速度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，所以向心加速度方向时刻改变，故C错误，D正确。
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对向心加速度公式的理解和应用
1．公式an＝
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
2．公式an＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
3．公式拓展
在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下公式：an＝ωv＝r＝4π2n2r。
4．向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图所示。
[典例] 如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RA＝2RB、RC＝5RB，正常骑行自行车时， A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
A．1∶1∶6 B．3∶1∶6
C．1∶2∶10 D．1∶3∶6
[解析] A、B线速度大小相等，RA∶RB＝2∶1，根据a＝知，aA∶aB＝1∶2。B、C角速度大小相等，RB∶RC＝1∶5，根据a＝Rω2知，aB∶aC＝1∶5。所以aA∶aB∶aC＝1∶2∶10，故C正确，A、B、D错误。
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[答案] C
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
1．如图为我国发射的绕月探测卫星“嫦娥二号”，它在距月球表面200 km高的近月圆形轨道上以127 min的周期运行，在绕月运行的过程中“嫦娥二号”卫星的向心加速度为(月球的半径为1 738 km)( )
A．1.3 m/s2 B．2.2 m/s2
C．3.8 m/s2 D．4.2 m/s2
解析：选A 卫星的轨道半径为：r＝200 km＋1 738 km＝1 938 km，则向心加速度为：a＝＝1.938×106× m/s2≈1.3 m/s2，故A正确，B、C、D错误。
2.如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是( )
A．P、Q两点角速度大小相等
B．P、Q两点向心加速度大小相等
C．P点向心加速度小于Q点向心加速度
D．P点向心加速度大于Q点向心加速度
解析：选C P、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vP＝vQ，而rP＞rQ，v＝rω，所以P、Q两点角速度大小不相等，故A错误；根据a＝及vP＝vQ，而rP＞rQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故C正确，B、D错误。
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1．下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A．匀速运动 B．匀加速运动
C．加速度不变的曲线运动 D．变加速曲线运动
解析：选D 匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对。
2．下列关于质点做匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．由a＝知a与r成反比
B．由a＝ω2r知a与r成正比
C．由ω＝知ω与r成反比
D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
解析：选D 由a＝知，只有当v一定时a才与r成反比；同理，由a＝ω2r知，只有当ω一定时a才与r成正比；由ω＝知v一定，ω与r成反比，故A、B、C均错误。而ω＝2πn中，2π是定值，ω与转速n成正比，D正确。
3．[多选]一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是( )
A．大小为 B．大小为g－
C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内
解析：选AC 根据an＝可知选项A正确；由于老鹰在水平面内运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。
4．[多选]一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则( )
A．小球相对于圆心的位移不变
B．小球的线速度大小为
C．小球在时间t内通过的路程为
D．小球做圆周运动的周期为2π
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解析：选BD 做匀速圆周运动的小球，相对于圆心的位移大小不变，但方向时刻在改变，故A错误。由公式a＝得v＝，故B正确。由v＝知Δl＝vΔt＝t，故C错误。由a＝R知T＝2π，故D正确。
5.如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的( )
A．角速度之比为2∶1 B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1
解析：选B 根据两轮边缘线速度相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。
6.[多选]如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2
解析：选BCD 由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va
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