黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.
参考公式：如果事件互斥，那么；
如果事件相互独立，那么；
如果随机变量～，则
第Ⅰ卷（选择题满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
1．已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，则的值为
A． B． C． D．
3．已知,则展开式中项的系数为
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，则斜率的范围为
A． B．
C． D．
5．已知向量满足，且，则在方向上的投影为
A. B. C. D.
6．已知部分图象如图，则的一个对称中心是
A． B． C． D．
7. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，
平面，，且的中点，则异面直线与夹角的余弦值为
A． B． C． D．
8．设且,则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为的等腰直角三角形，
则此空间几何体的表面积是
A． B． C． D．
10．程序框图如图，若输入的，则输出的结果为
A． B． C． D．
11．将三颗骰子各掷一次,设事件=“三个点数互不相同”,
=“至多出现一个奇数”,则概率等于]
A． B． C． D．
12．已知定义在上的连续可导函数无极值，且
，若
在上与函数的单调性相同，则实数的取值
范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13. 若整数满足不等式组，则的最小值为.
14．已知椭圆的焦点为，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径
的⊙与椭圆交于点，则．
15．定义在上的函数满足，若，且，则．
16．已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）
17.（本小题满分12分）
已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求证：．
18．（本小题满分12分）
如图，已知四边形满足，，是的中点，将沿翻折成，使得，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：
等级
不合格
合格
得分
频数
（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数
分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握
认为性别与安全意识有关？
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行
座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数
学期望；
（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教
育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应
调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式：.
是否合格
性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
20.（本小题满分12分）
已知中，，且．以边的中垂线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点,若直线
关于轴对称,求面积的取值范围．
21.（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求函数单调递减区间；
（Ⅱ）若函数的极小值不小于，求实数的取值范围．
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设点，若直线与曲线相交于两点，且，求的值﹒
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且，求的取值范围.
黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
C
D
C
C
C
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15.4 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为………………①
当时，，
当时，…………②
由①-② 得：，……………………………………………………………3分
因为适合上式，所以（） ……………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ………8分
…………10分
，即. ……………………………………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接交于点，连接，由四边形
为菱形，为的中点得，，
平面，所以平面………4分
（Ⅱ）由第（Ⅰ）小题可知得，以、、
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．
则，，， …6分
，，，，设平面的法向量，
则 ，令，解得， ……………………9分
同理平面的法向量，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . ……………………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.
性别与合格情况的列联表为：
是否合格
性别
不合格
合格
小计
男生
女生
小计
即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.……4分
（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,
.
的分布列为：
20
15
10
5
0
所以. …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.
故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. …………12分
20. （本小题满分12分）
解： (Ⅰ)由得：,
由正弦定理 ……………………………………………2分
所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆(除轴上的点),其中，则，
故轨迹的轨迹方程为. ……………………………………………4分
(Ⅱ) 由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得:.
由得，，且 ………………6分
∵直线关于轴对称,∴，即.
化简得：,
,得 …………………………8分
那么直线过点,,所以面积：
……………10分
设,,显然，S在上单调递减，
.………………………………………………………………………………12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知，所以…………2分
由，解得或.
综上所述，的递减区间为和． ……………………4分
（Ⅱ）由题可知，所以.
（1）当时，，则在为增函数，在为减函数，所以在上没有极小值,故舍去；
（2）当时，，由得，由于，所以，
因此函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，
所以极小值………………………………………………8分
即.
令，则上述不等式可化为.
上述不等式① …10分
设，则，故在为增函数.
又，所以不等式①的解为，因此，所以，解得.综上所述. ………………………………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由题可得，曲线的普通方程为.
直线的直角坐标方程为，即…………3分
由于直线过点，倾斜角为，
故直线的参数方程（是参数） …………………………………5分
（注意：直线的参数方程的结果不是唯一的.）
（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程并化简得：. ………………8分
所以, 解得. ………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ），所以， ………3分
恒成立，则，解得.………5分
（Ⅱ），，
则， …………………………………………………………………8分
又，所以，于是，
故.………………………………………………………………………10分
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