2019北京门头沟区高三综合练习（一模）
数 学（理） 2019.3
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合，则等于
A． B． C． D.
2.复数满足，那么是
A． B． C．2 D.
3. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A. B．8 C． D．12
4. 右面的程序框图，如果输入三个实数要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的
A． B． C． D．
5.已知向量满足，且其夹角为，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是
A. B. C. D.
7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。则不同的选派方法的种数是
A．18 B．21 C． 36 D．42
8. 若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”，且点对与可看作同一个 “友好点对”.若函数（其中为自然对数的底数，）恰好有两个“友好点对”，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
9.若满足条件，则的最大值为．
10. 双曲线的渐近线方程是.
11．等比数列中，则数列的通项公式.
12．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线相交于两点，则.
13．已知，求的最值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：
甲： 乙：
①你认为甲、乙两人解法正确的是.
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确
14．一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.
(Ⅰ)当秒时点离水面的高度；
(Ⅱ)将点距离水面的高度(单位:)表示为
时间(单位:)的函数，则此函数表达式为.
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.）
15. （本小题满分12分）
在中，且满足已知.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若的面积为，，求的周长.
16．（本小题满分12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：
学校
抽查人数
50
15
10
25
“创城”活动中参与的人数
40
10
9
15
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；
（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.
17.（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，，是棱上的一个动点，为的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若,
（）求与平面所成角的正弦值；
（）侧面内是否存在过点的一条直线，
使得该直线上任一点与的连线,
都满足平面，若存在,求出此直线
被直线所截线段的长度，若不存在，请明理由.
18.（本题满分14分）如图， 已知椭圆,分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为,椭圆的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过P的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点.
求证：
（）三点共线.
（）.
19.（本题满分14分）已知在点处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求实数的值；
（Ⅱ）设
（）若函数在上恒成立,求实数的最大值；
（）当时，判断函数有几个零点，并给出证明.
20.（本题满分14分）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
（Ⅰ）已知数列，的通项公式分别为，试判断数列，是不是“指数型数列”；
（Ⅱ）已知数列满足，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
（Ⅲ）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列.
数学试题答案
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
A
C
D
D
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
题号
9
10
11
12
答案
2
8
题号
13
14
答案
甲
开放性试题
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.）
15. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得：
（Ⅱ）由三角形面积公式得：
由余弦定理得：
所以，的周长为
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）学校高中生的总人数为人，
学校参与“创城”活动的人数为人
（Ⅱ）设有1人参与“创城”活动这一事件为，
则
（Ⅲ）设参与“创城”活动人数为，则可取0，1，2，3
由题意可知，学校高中学生参与率为，
， ，
0
1
2
3
17.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可知，，则，又底面是菱形，
，所以，，
（Ⅱ）
()由（Ⅰ）可知，，过作，建立如图所示的坐标系，则
设平面的法向量为
设与平面所成角为，
则
（）设是的中点，连结，
则
所以直线上任一点与的连线,都满足
平面，直线被直线所截线段的长度为:由（）可知，
18.（本题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知：
（Ⅱ）（）当直线的斜率不存在时，满足题意.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.
.……8分
所以，三点共线。
（）由（）可知，
19.（本题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意得：
（Ⅱ）（）
当时，若，递增，则
当时，若，在递减，则不恒成立，所以，的最大值为1.
（），显然有一个零点0；
设
当时，无零点；所以只有一个零点0
当时，有，所以在上单增，
又，由零点存在定理可知，
所以在上有唯一一个零点，所以有二个零点
综上所述，时，只有一个零点0，时，有二个零点.
20.（本题满分14分）
解：（Ⅰ）数列, ,所以数列不是“指数型数列”。
，所以数列是“指数型数列”
（Ⅱ）数列是“指数型数列”，
所以是等比数列，，
所以数列是“指数型数列”
（Ⅲ）若数列是“指数型数列”，由定义得：
假设数列中存在三项成等差数列，不妨设
则，得：
整理得：（*）
若为偶数时，右边为偶数，为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；
若为奇数时，右边为偶数，为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；
所以，对任意的，（*）式不成立.
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