四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学（理）试卷Word版含解析.docx

‎2019届四川省成都市第七中学 高三一诊模拟考试数学（理）试题此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．若随机变量X∼N‎3,‎σ‎2‎，且PX≥5‎=0.2‎，则P‎10‎，b>0‎，e为自然对数的底数，若a‎2‎‎+b=‎‎1‎ee-xxdx，则‎2‎a+1‎‎+‎‎1‎b的最小值是________.‎ ‎16．若函数fx=‎‎2‎x+2‎‎-a,x≤0‎x‎3‎‎-ax+2,x>0‎有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____．‎ 三、解答题 ‎17．正项等比数列an中，已知a‎3‎‎=4‎，a‎4‎‎=a‎2‎+6‎.‎ ‎1‎求an的前n项和Sn；‎ ‎2‎对于‎1‎中的Sn，设bn‎=‎S‎1‎，且bn+1‎‎-bn=‎Snn∈‎N‎*‎，求数列bn的通项公式.‎ ‎18．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”‎…‎江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情‎.‎每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇‎2009～2018‎年梅雨季节的降雨量‎(‎单位：m)‎的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎“梅实初黄暮雨深”‎.‎假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎“江南梅雨无限愁”‎.‎在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元‎.‎而乙品种杨梅的亩产量m(kg/‎亩‎)‎与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为‎32-0.01×m(‎元‎/kg)‎，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润ξ(‎万元‎)‎的期望更大？‎(‎需说明理由‎)‎ 降雨量 ‎[100,200)‎ ‎[200,300)‎ ‎[300,400)‎ ‎[400,500]‎ 亩产量 ‎500‎ ‎700‎ ‎600‎ ‎400‎ ‎19．已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的离心率为‎2‎‎2‎，且经过点A‎2,0‎.‎ ‎1‎求椭圆的标准方程；‎ ‎2‎设O为椭圆的中线，点D‎-2,0‎，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点满足OB‎•OC=4‎，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程.‎ ‎20．如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2.‎ ‎1‎作平面CDE与平面ABE的交线l，并写出作法及理由；‎ ‎2‎求证：平面BDE⊥‎平面ACE；‎ ‎3‎若多面体的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值.‎ ‎21．已知函数fx=xsinx+2cosx+ax+2‎，其中a为常数.‎ ‎1‎若曲线y=fx在x=0‎处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；‎ ‎2‎若对‎∀x∈‎‎0,π，都有π0‎有三个不同的交点，如图所示：‎ 当x≤0‎时，y=‎‎2‎x+2‎的图象易得，当x>0‎时，函数g(x)=x‎3‎‎+2‎x，g‎'‎x=‎2x‎3‎‎-2‎x‎2‎=0，x=1,‎ ‎∴gx在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，‎+∞‎)上单调递增，如图所示：‎ 有三个不同的交点，‎∴3＜‎a≤4‎ 故答案为：‎‎3，‎‎4‎‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎17．‎‎1‎Sn‎=‎1-‎‎2‎n‎1-2‎=‎2‎n-1‎2‎bn=‎2‎n-n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1‎利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{an}的前n项和Sn．‎ ‎（2）由bn+1‎‎-bn=‎Sn，直接利用累加法求出{bn}的通项．‎ ‎【详解】‎ ‎1‎设正项等比数列an的公比为qq>0‎，则 由a‎3‎‎=4‎及a‎4‎‎=a‎2‎+6‎得‎4q=‎4‎q+6‎，化简得‎2q‎2‎-3q-2=0‎，解得q=2‎或q=-‎‎1‎‎2‎（舍去）.‎ 于是a‎1‎‎=‎4‎q‎2‎=1‎，所以Sn‎=‎1-‎‎2‎n‎1-2‎=‎2‎n-1‎，n∈‎N‎*‎.‎ ‎2‎由已知b‎1‎‎=S‎1‎=1‎，bn+1‎‎-bn=Sn=‎2‎n-1‎n∈‎N‎*‎，所以当n≥2‎时，由累加法得 bn‎=bn‎-‎bn-1‎+bn-1‎‎-‎bn-2‎+…+b‎2‎‎-‎b‎1‎+b‎1‎=‎2‎n-1‎‎+‎2‎n-2‎+…+‎‎2‎‎1‎-n-1‎+1‎‎，‎ ‎=‎2‎‎1-‎‎2‎n-1‎‎1-2‎-n+2=‎2‎n-n‎.‎ 又b‎1‎‎=1‎也适合上式，所以bn的通项公式为bn‎=‎2‎n-n，n∈‎N‎*‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式、数列的前n项和的求法，考查累加法求通项等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎18．‎1‎‎5‎‎32‎‎2‎乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1‎由频率分布直方图可求出降雨量超过‎350mm的概率，利用独立重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过‎350mm的概率.‎ ‎2‎根据题意，列出随机变量ξ（万元）的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比较得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎1‎频率分布直方图中第四组的频率为‎1-100×‎0.002+0.004+0.003‎=0.1‎. ‎ 江南Q地区在梅雨季节时降雨量超过‎350mm的概率为‎50×0.003+0.1=0.25‎.‎ 所以Q地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过‎350mm的概率为 C‎3‎‎2‎‎×‎1‎‎4‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎4‎+C‎3‎‎3‎‎1‎‎4‎‎3‎=‎9‎‎64‎+‎1‎‎64‎=‎‎5‎‎32‎‎（或0.15625）.‎ ‎2‎根据题意，总利润为‎20m‎32-0.01m（元），其中m=500,700,600,400‎.‎ 所以随机变量ξ（万元）的分布列如下表.‎ ξ ‎27‎ ‎35‎ ‎31.2‎ ‎22.4‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 故总利润ξ（万元）的数学期望Eξ=27×0.2+35×0.4+31.2×0.3+22.4×0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31‎（万元）.‎ 因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考查计算能力．‎ ‎19．‎‎1‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎2‎x‎2‎+y‎2‎+2x=0‎x≠0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的离心率为‎2‎‎2‎，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；‎ ‎（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合OB‎•OC=4‎求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.‎ ‎【详解】‎ ‎1‎因为椭圆的离心率e=ca=‎‎2‎‎2‎，且a=2‎，所以c=‎‎2‎. ‎ 又b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2‎.故椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎.‎ ‎2‎设直线l的方程为x=ty+2‎（当t存在时，由题意t≠0‎），代入x‎2‎‎+2y‎2‎=4‎，并整理得t‎2‎‎+2‎y‎2‎‎+4ty=0‎.‎ 解得yB‎=‎‎-4tt‎2‎‎+2‎，于是xB‎=tyB+2=‎‎4-2‎t‎2‎t‎2‎‎+2‎，即B‎4-2‎t‎2‎t‎2‎‎+2‎‎,‎‎-4tt‎2‎‎+2‎.‎ 设Cty‎0‎+2,‎y‎0‎，则OB‎•OC=‎4-2‎t‎2‎ty‎0‎+2‎t‎2‎‎+2‎+‎-4ty‎0‎t‎2‎‎+2‎=‎‎8-4t‎2‎-2‎t‎3‎y‎0‎t‎2‎‎+2‎.‎ 由已知得OB‎•OC=4‎，得‎8-4t‎2‎-2t‎3‎y‎0‎=4t‎2‎+8‎，解得y‎0‎‎=‎‎-4‎t，于是C‎-2,‎‎-4‎t.‎ 又D‎-2,0‎，‎ 由B,D两点的坐标可得直线BD的方程为y=‎‎-t‎2‎x+2‎.‎ 又由点C坐标可得直线OC的方程为y=‎2‎tx.‎ 两式相乘，消去参数t得y‎2‎‎=-xx+2‎.（如果只求出交点P的坐标，此步不得分）‎ 又当t不存在时，B,C,D,P四点重合，此时P‎-2,0‎也满足题意.‎ 故直线BD与OC的交点的轨迹方程x‎2‎‎+y‎2‎+2x=0‎x≠0‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键．‎ ‎20．‎1‎见解析‎2‎见解析‎3‎‎15‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1‎由题意可得AB//‎平面CDE，由线面平行的性质作出交线即可.‎ ‎2‎取AE的中点O，连结OB，OD.由条件可证得AE⊥‎平面OBD，故AE⊥BD.‎ 又AC⊥BD.‎∴BD⊥‎平面ACE.从而平面BDE⊥‎平面ACE.‎ ‎3‎利用等体积法求得三棱锥D-ABE的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.‎ ‎【详解】‎ ‎1‎过点E作AB（或CD）的平行线，即为所求直线l.‎ ‎∵AC和BD交于一点，‎∴A,B,C,D四点共面.又‎∵‎四边形ABCD边长均相等.‎ ‎∴‎四边形ABCD为菱形，从而AB//DC.‎ 又AB⊄‎平面CDE，且CD⊂‎平面CDE，‎∴AB//‎平面CDE.‎ ‎∵AB⊂‎平面ABE，且平面ABE∩‎平面CDE=l，‎∴AB//l.‎ ‎2‎取AE的中点O，连结OB，OD.‎∵AB=BE，DA=DE，‎∴OB⊥AE，OD⊥AE.‎ 又‎∵OB∩OD=O，‎∴AE⊥‎平面OBD，‎∵BD⊂‎平面OBD，故AE⊥BD.‎ 又‎∵‎四边形ABCD为菱形，‎∴AC⊥BD.‎ 又‎∵AE∩AC=A，‎∴BD⊥‎平面ACE.‎ 又‎∵BD⊂‎平面BDE，‎∴‎平面BDE⊥‎平面ACE.‎ ‎3‎由VE-ABCD‎=2VE-ABD=2VD-ABE=2‎，即VD-ABE‎=1‎.‎ 设三棱锥D-ABE的高为h，则‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎‎•2•‎‎3‎‎•h=1‎，解得h=‎‎3‎.‎ 又‎∵DO=‎‎3‎，‎∴DO⊥‎平面ABE.‎ 建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则A‎0,-1,0‎，B‎3‎‎,0,0‎，D‎0,0,‎‎3‎，E‎0,1,0‎.‎ ‎∴BC=AD=‎‎0,1,‎‎3‎‎，BE‎=‎‎-‎3‎,1，0‎.‎ 由y+‎3‎z=0‎‎3‎x-y=0‎得，平面BCE的一个法向量为n‎=‎‎1,‎3‎,-1‎.‎ 又DE‎=‎‎0,1,-‎‎3‎，于是cos=‎2‎‎3‎‎5‎‎•2‎=‎‎15‎‎5‎.‎ 故直线DE与平面BCE所成角的正弦值为‎15‎‎5‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．‎ ‎21．‎‎1‎a=-1‎‎2‎‎1,π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．‎ ‎（2）对a分类讨论，易判断当a≤0‎或当a≥π时，fx在区间‎0,π内是单调的，根据单调性得出结论，当‎0f‎'‎π=a-π≥0‎，所以fx在区间‎0,π内单调递增，故f‎0‎