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北京市昌平区2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）
（150分，120分钟）
2018.1
考生须知：
1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
（1）直线的倾斜角等于
A. B. C. D.
（2）命题“”的否定为
A. B.
C. D.
（3）已知圆，直线，则直线被圆所截得的弦长为
A. B. C. D.
（4）下面向量中，与向量共面的向量是
A. B. C. D.
（5）已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
（6）在中，点,点与点关于轴对称，则边上的高所在的直线方程为
A. B.
C. D.
（7）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2，水面宽4，当水位上升0.5后，水面宽
A. B. C. D.
（8）已知直线是不同的直线，平面是不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若则 B. 若则
C. 若则 D. 若则
（9）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为
A． B. C. D.
（10）在正方体中，为的中点，已知平面经过点，且平行于平面，平面与平面交于直线, 与平面交于直线,则直线所成角的余弦值为
A． B. C． D.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（11）若命题,都是真命题，则命题“”是____命题(填“真”或 “假”).
（12）已知直线与直线平行，则实数的值为 .
（13）《九章算术》是我国古代数学经典名著.
在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_______.
（14）已知双曲线的焦距为10，则的值为______;此双曲线的渐近线方程是________.
（15）已知抛物线的焦为，则抛物线的方程是_______;若是上一点，的延长线交轴于点，且为的中点，则__________．
（16）在平面直角坐标系中，动点满足到轴的距离与到原点的距离之和等于.记动点的轨迹为曲线，下面对于曲线的描述正确的是_______.（把所有正确的命题的序号填在横线上）
①曲线关于原点对称；
②曲线关于直线对称；
③若点在曲线上，则；
④若点在曲线上，则.
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（17）（本小题满分14分）
已知两点.
(I) 求以线段为直径的圆的方程;
(II) 若直线过点，且与(I)中的圆相切，求直线的方程.
（18）（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点．
(I) 求证：∥平面；
(II) 求证：平面平面．
（19）（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，平面平面，，底面为边长为的正方形，
(I) 求直线与平面所成角的大小；
(II) 在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(20) （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为，过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(I) 求椭圆的方程；
(II) 当直线的斜率为时，求的面积；
(III) 在轴上是否存在点，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
(21) （本小题满分14分）
对于曲线上一点，若在曲线上存在异于的两点，满足，且，则称点为曲线的“点”，是点的一个“特征三角形”.
已知椭圆的一个顶点为，分别为椭圆的左、右顶点.
(I) 证明：不是点的“特征三角形”；
(II) 当时，已知点是椭圆的“点”，且是点的 “特征三角形”，求出点的一组坐标；
(III) 试判断点是否为椭圆的“点”，若是，求出其“特征三角形”的个数;若不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
B
C
C
D
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 假 12. 13. 8
14. 3； 15. ；6 16. ①③④
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（17）（本小题满分14分）
解： (I) 设所求圆的圆心为,半径r.则
所求圆C的方程为……………………………………….6分
(II) ①若直线的斜率不存在，即直线，符合题意; …………………..7分
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
由题意知，圆心到直线的距离等于半径2，
即 ，解得 .
所求直线的方程是或. ………………………14分
（18）（本小题满分14分）
证明：(I) 因为分别为的中点，所以.…2分
又平面，平面，故平面．……………5分
(II) 因为, 为的中点,所以. ………………………………6分
因为,平面
所以平面.
又平面 ,所以.…………10分
因为,即平面
所以平面.……………………………………12分
因为平面，所以平面平面.……14分
（19）（本小题满分14分）
解： (I) 在四棱柱中，因为平面平面平面平面
所以平面. ……….1分
以点为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.
则
…………….3分
设平面的法向量为由
取………5分
设直线与平面所成角为，则
因为 所以
即直线与平面所成角的大小为.…………8分
(II) 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为.
设，由 得…………….9分
设平面的法向量为，
由 取 ……….11分
由（I）知，平面的法向量………………………12分
所以
所以在线段上存在一点，且，使得二面角的大小为
…………14分
（20）（本小题满分14分）
解：(I) 根据题意， 解得
故椭圆的方程为…………………………5分
(II) 根据题意，直线的方程为.
设. 由 得
解得.
法一： .
法二：,原点到直线的距离.
所以…………………………10分
(III) ① 当直线的斜率为0时，………………………………11分
② 设直线的方程为.设,
由 得
由韦达定理得, .
所以的中点 .
若，则, 所以即.
解得 .所以.
综上，在轴上存在点，满足，且的取值范围是 …14分
（21）（本小题满分14分）
解：(I) 证明：
因为，所以即与不垂直.
所以不是点的“特征三角形”.……………………………………4分
(II)当时，椭圆
因为点是椭圆的“点”，且是点的一个“特征三角形”，
不妨设,
由题意得：解得或（舍）
所以（或）……………………………………….8分
（III）点是椭圆的“点”. 不妨设点的“特征三角形”为.
设直线的方程为，则直线的方程为，
由 得.
因为，所以.
所以
同理可得.
因为，所以，
即.（1）
所以或（2）.
由（2）式可得.
当时，（2）式有两个相等的正根1，所以（1）式有三个相等的正根为；
当时，（2）式有两个不等于1 的正根，所以（1）式有三个不相等的正根；
当时，（2）式无实根，所以（1）式只有一个正根为.
综上：当时，满足条件的“特征三角形”有1个.
当时，满足条件的“特征三角形”有3个. …………………….14分
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