湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）Word版含答案.doc

宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试 理科数学试题 考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题人：李海峰 审题人：孙红波 ‎★祝考试顺利★‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.若，则 A. B. C. D.‎ ‎2.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的，则空白判断框内应填的条件为 A. B. C. D.‎ ‎3.某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ m ‎70‎ 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为 A. B. C. D.‎ ‎4.已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎5.“”是“，使得是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6.已知为抛物线上一个动点，到其准线的距离为，为圆上一个动点， 的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎7.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所 示，则该截面的面积为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.下面给出的命题中：‎ ‎（1）已知函数，则；‎ ‎（2）“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件；‎ ‎（3）已知随机变量服从正态分布，且，则；‎ ‎（4）已知圆，圆，则这两个圆恰有两条公切线.‎ 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.已知命题函数是奇函数，命题函数在区间上单调递增，则下列命题中为真命题的是 A. B. C. D.‎ ‎10.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A. B． C． D．‎ ‎11.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是 A. B． C． D．‎ ‎12.已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ ‎13.的二项展开式中的常数项的值为______．‎ ‎14.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．‎ ‎15.关于曲线C：，给出下列说法： ①关于坐标轴对称；       ②关于点对称； ③关于直线对称；   ④是封闭图形，面积大于． 则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上 ‎16.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为______.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）已知：不等式对于恒成立，:关于的不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图． （1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎19.（本小题满分12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，‎ ‎，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．‎ A B C D A B C D O 图乙 图甲 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：为线段中点；‎ ‎（3）求二面角的大小的正弦值． ‎ ‎20．（本小题满分12分）宜昌市拟在2020年点军奥体中心落成后申办2022年湖北省省运会，据了解，目前武汉，襄阳，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构为调查宜昌市市民对申办省运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取 ‎ ‎3人，求至多有1位教师的概率． 附：,.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为． （1）是椭圆上的任意一点，求的取值范围； （2）已知直线与椭圆相交于不同的两点（均不是长轴的端点），，垂足为 且，求证：直线恒过定点．‎ ‎22.（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；‎ ‎（3）设，.若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.‎ 宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试 理科数学试题参考答案 一、ABDCB,CABAD,AC 二、 14.0.58 15. 16.2‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）已知：不等式对于恒成立，:关于的不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．‎ ‎17解：， 对于，不等式恒成立，可得， ：， …………3分 又命题q：有解，，解得或，…………6分 为真，且为假， 与q必有一真一假当p真q假时，有， 即， 当p假q真时，有，即或，‎ ‎ 综上，实数m的取值范围是．…………10分 ‎18．(本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图． （1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎18由题意得，，解得； 又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为： 克 故估计盒子中小球重量的平均值约为克……………………………….4分 利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在内的； 则，………………………………………6分 ； ； ； ； ‎ ， 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 即．………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，‎ ‎，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．‎ ‎（1）求证：；‎ A B C D A B C D O 图乙 图甲 ‎（2）求证：为线段中点；‎ ‎（3）求二面角的大小的正弦值． ‎ ‎19解:(I)证明：由已知D在平面ABC上的射影 O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC，‎ ‎∴AO是AD在平面ABC上的射影．　　　 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．　 ………………4分 (II)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC 又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC　　　　 又∵BDÌ平面ADB，∴AD⊥BD， ‎ 在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD, ∴O是AB的中点. ………………8分 ‎ (III)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE，‎ ‎∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC ∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角， ‎ 且 即二面角D－AC－B的正弦值为． ………………12分 ‎20．（本小题满分12分）宜昌市拟在2020年点军奥体中心落成后申办2022年湖北省省运会，据了解，目前武汉，襄阳，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构为调查宜昌市市民对申办省运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取 ‎ ‎3人，求至多有1位教师的概率． 附：,.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20解： ‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎…………3分 ， 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关；…………7分 记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：，所以所求概率是．…………12分 ‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为． （1）是椭圆上的任意一点，求的取值范围； （2）已知直线与椭圆相交于不同的两点（均不是长轴的端点），，垂足为 且，求证：直线恒过定点．‎ ‎21解：设，又  所以， 因为P点在椭圆上， 所以，即，且，所以， 函数在单调递增， 当时，取最小值为0； 当时，取最大值为12． 所以的取值范围是．……………………….5分 由题意： 联立得， 由得分 设，则 ， 所以 即，……10分 ‎ 所以或均适合． 当时，直线l过点A，舍去， 当时，直线过定点．………………………12‎ ‎22.（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；‎ ‎（3）设，.若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.‎ ‎22.解：（Ⅰ）‎ 由题意，知恒成立，即…… 2分 又，当且仅当时等号成立.‎ 故，所以. ……3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则 ‎……5分 由，得或（舍去），，‎ ‎①若，则单调递减；在也单调递减；‎ ‎②若，则单调递增. 在也单调递增；‎ 故的极小值为 ……7分 ‎（Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中 ‎①‎ ‎②‎ ‎③④‎ 结合题意，有 ……9分 ① ‎—②得，所以由④得 所以⑤ ……10分 设，⑤式变为 ‎ 设，‎ 所以函数在上单调递增，因此，，即 也就是，，此式与⑤矛盾.‎ 所以在处的切线不能平行于轴. …………12分