益阳市箴言中学高二2019年4月月考数学（文科）试卷
（时量：120分钟；总分：150分）
一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、已知全集,,，则集合（ ）
A. B. C. D.
2、设z = ，则|z|=（ ）
A． B．1 C．2 D．
3、下列说法错误的是（ ）
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．线性回归方程对应的直线，至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
4、已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
5、若下边的程序框图输出的S是126，
则条件①可为（ ）
A．n≤5 B．n≤6
C．n≤7 D．n≤8
6、设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )
7、在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2 =（a﹣b）2 + 6，C = ，则△ABC的面积（ ）
A．3 B． C． D．3
8、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C．2 π D．4 π
9、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．2 B．4+2 C．4+4 D．6+4
10、将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数g（x）的一个单调增区间为（ ）
A．[0，π] B． C． D．[﹣π，0]
11、焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、（一）11、已知函数f（x）=+1（a∈R），f（ln（log25））=5，则f（ln（log52））=（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）
13、已知函数，则 = ．
14、已知实数x，y满足条件，则z = y﹣2x的最小值为 ．
15、向量，若，则λ= ．
16、已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ．
三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17、（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a2＝8，S6＝66.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
18、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面．
19、（本小题满分12分）高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求[80，90），[90，100]两组中至少有1人被抽到的概率．
20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．
21、（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（Ⅰ）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．
请考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ
（1）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程
（2）求曲线C1和C2两交点之间的距离．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
益阳市箴言中学高二2019年4月月考数学试卷答案
一、 选择题： D A B D B C C B C B A B
二、填空题：13、 14、-2 15、3 16、y2=8x．
三、解答题：
17、（1）an=2n+4 (2) Tn= 18、略
19、（1）x=0.02； 平均数为74（分）； 中位数为分．
（2）1200． （3）．
20、解：（Ⅰ）椭圆方程为+=1；
（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），
由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；
当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），
PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，
由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，
平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，
又Q（，t），
由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0， 解得t=，
则t2==
=
==
==12， 解得t=． 综上可得，t=﹣2．
21、解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x．
所以f′（x）=﹣2x+1=
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=，
当a=0时，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．
g（x）=﹣2，g′（x）=，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，
由已知，，
由f（e）=1﹣ae2+2e﹣ea≤﹣2，∴a≥，
由f（）=ln﹣+﹣1＞﹣2， ∴lna﹣+＜0，
令h（x）=lnx﹣知h（x）单调递增，
而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，lna﹣+＜1，
∴a∈（0，e），综合以上，≤a＜e．
22、（1）C1：y=2x﹣1． C2： x2+y2=2x﹣4y． （2）
23、（Ⅰ） {x|x≤﹣5，或x≥3}． （Ⅱ）略
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