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2017—2018学年上学期2016级
期末考试文数试卷
考试时间：2018年2月1日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题：“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
2．直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“直线与直线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1 和图2 所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
图1 图2
A．100，10 B．100，20 C． 200，20 D．200，10
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是（ ）
A． B． C． D．
6.曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是（ ）
A． B． C． D．
8.设某中学的学生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为，给出下列结论，则错误的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线至少经过样本数据中的一个
C.若该中学某生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.回归直线一定过样本点的中心点
9.已知函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )
A． B． C． D．
11.不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
12.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13.已知直线与圆相切，则的值为 .
14．若变量满足约束条件，则的最大值为 ．
15．已知函数的导数为，且满足，则 ．
16．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．( 10分)命题： ；命题：.问：是否存在实数，使得为真命题，为假命题？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
18.(12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.
(1)求的值；
(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．
19．(12分)
(1)设和是函数的两个极值点。试求常数和的并判断和是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由。
（2）已知函数,若在区间上的最小值为-7，求它在该区间上的最大值.
20.(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点F的距离为6．
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于不同的两点，且中点横坐标为2，求实数的值．
21．(12分)已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
22．(12分)设函数是自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程在区间上恰有两相异实根，求的取值范围；
（3）当时，证明：．
高二文数答案
1-5 BAACD 6-10ADBAB 11-12DC
13.2或-8 14.3 15.6 16.
17.解：为真时，只需，又时，(当且仅当时取“=”），.为真时，只需，即，解得.
假设存在实数，使得为真命题，为假命题，则、一真一假，
则有或，，
则存在实数，使得为真命题，为假命题…………(10分)
18.解: (1) 由直方图可知,乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为,故频率为,由题意可得,解得.……………………………………(3分)
(2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………(7分)
(3)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………(12分)
19.解：（1）由题义：
∵是函数极值点
由题意得：；得；
且
当时，，减 ∴是极小值点
当时，，增 是极大值点.
当时，减………………(6分)
（2）由题义：，令，（舍）.
当为减函数；
当为增函数.
∴对于函数，
又
∴当时， =f(-1)=a-5=-7 ;
则时， .………………(12分)
20. 解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，
∵到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+∴p=4
∴抛物线C的方程为……………(4分)
（2）由消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0
∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，
解得 k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．……………(12分)
21.（1）设，由条件知，得又，所以a=2， ，故的方程．………………(4分)
（2）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 将代入，得，当，即时，从而= +又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或． ………………(12分)
22.解：（1）
当时 当时
的递增区间为递减区间为 ……………………4分
（2）由方程 得
令 则
当时， 递减
当时， 递增
又
……………………8分
（3）要证原不等式成立，只需证明成立
由（1）可知当时， 又时，
故 即 ……………………12分
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