湖北省荆州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）Word版含答案.doc

荆州中学2017～2018学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.已知直线与直线平行，则实数的值为( )‎ A.-3 B.3 C. D.‎ ‎2.已知随机变量服从二项分布，则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.执行如右图所示程序框图，输出结果是( )‎ A.8 B.5 C.4 D.3‎ ‎4.如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( )‎ A.②④③ B.②③④ C.①③④ D.①②③‎ ‎5.已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则∥；‎ ‎②若，则∥；‎ ‎③若∥，则； ‎ ‎④若，，∥，∥，则∥.‎ 其中所有正确命题的个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.两位同学约定上午11：30—12：00在图书馆见面，且他们在11：30—12：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若变量满足约束条件且的最小值为，则( )‎ A. B.2 C.3 D. ‎ ‎8.数学活动小组由5名同学组成，现将5名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排1名同学，则不同的分配方案种数为( )‎ A.60 B.90 C.150 D.300‎ ‎9.若正实数满足，则( )‎ A. 有最大值4 B.有最小值 C. 有最大值1 D.有最小值 ‎10.下列说法错误的是( )‎ A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ B.对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 C.回归直线一定过样本点的中心 D.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，变量一定增加0.3个单位 ‎11.已知直线，，和两点，，给出如下结论：‎ ‎①不论为何值时，与都互相垂直；‎ ‎②当变化时，与分别经过定点和；‎ ‎③不论为何值时，与都关于直线对称；‎ ‎④如果与交于点，则的最小值是1；‎ 其中，所有正确的结论的个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12.从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为( )‎ A. B. C.1.5 D.3‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于 .‎ ‎14.棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .‎ ‎15.某个部件由四个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作。设四个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .‎ 元件1‎ 元件4‎ 元件2‎ 元件3‎ ‎16.已知圆内一点，若是圆上不同的两点，且，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 设，已知成等差数列．‎ ‎(1)求及的值；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）,一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求直方图中的值；‎ ‎(2)若该市有120万居民，估计全市居民中 月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；‎ ‎(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的 众数、中位数.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 现有5个人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6)决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这5个人中参加甲游戏人数多于参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(2)用分别表示这5个人中参加甲、乙游戏的人数，记,求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图(1)，在五边形中，∥，，，△是以为斜边的等腰直角三角形，现将△沿折起，使平面⊥平面，如图(2)，记线段的中点为．‎ ‎(1)求证：平面⊥平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知直线与圆交于两点，过点的直线与圆交于两点．‎ ‎(1)若直线垂直平分弦，求实数的值；‎ ‎(2)若，求以为直径的圆的方程；‎ ‎(3)已知点，在直线上(为圆心)，存在定点 (异于点)，满足：对于圆上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 已知正数满足．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)求的最小值．‎ 荆州中学2017—2018学年上学期高二年级期末考试 理科数学试题 参考答案 一、选择题 DBCB BCCC DDBD 二、填空题 ‎13.45° 14.27π 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)依题意，得，即 ‎∴，解得(舍去) ∴‎ ‎(2)由,令，∴‎ ‎(3)在等式的两边取,得 ‎18.解:‎ ‎(1)由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，‎ ‎∴，解得：2.‎ ‎(2)由直方图可得，不低于3吨人数所占百分比为，‎ ‎∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万). (3)由直方图可知众数落在第五组中，∴众数为 数据落在第一、二、三、四组的频率＜0.5‎ 数据落在第一、二、三、四、五组的频率＞0.5‎ ‎∴中位数一定落在第五组中．‎ 设中位数为，则有，解得.‎ ‎19.解:‎ 依题意，这5个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这5个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件，则 ‎(1)设“这5个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，则 ‎∵与、互斥 ‎∴‎ ‎∴这5个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(2)的所有可能取值为1,3,5.由于与互斥，与互斥，与互斥 ‎∴‎ ξ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎∴的分布列是 ‎∴随机变量ξ的数学期望.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)∵，是线段的中点，∴.‎ 又∵，∴四边形为平行四边形，又，∴，‎ 又∵是等腰直角的中点，∴.‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)∵平面平面，且，∴平面，∴.‎ ‎∴两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎∵为等腰直角三角形，且CD=1，BC=，‎ ‎∴， ‎∴，，，，‎ ，，‎ ‎∴， 设平面的一个法向量为，则有，∴，取，得，‎ ‎∵平面，∴平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，则，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角大小为.‎ ‎21.解:‎ ‎(1)依题意，圆方程变形为，圆心，半径 又直线的方程即为 ‎∵垂直平分弦，∴圆心必在直线上 ‎∴过点和，斜率，‎ ‎∴‎ ‎(2)设垂直于的弦长为 ‎∵，‎ ‎∴由勾股定理，可知 ‎∴，故 ‎∴点是的中点，故以为直径的圆的圆心是点，半径为2‎ ‎∴所求圆的方程为.‎ ‎(3)‎ 法一：设直线上的点 取直线与圆的交点，则 取直线与圆的交点，则 令，解得或(舍去，与重合)，此时 若存在这样的定点满足题意，则必为 下证：点满足题意 设圆上任意一点，则 ‎∴‎ ‎∴‎ 综上可知，在直线上存在定点，使得为常数3.‎ 法二：依题意，直线的方程为，设存在定点满足题意，则设，，得，且 ‎∴‎ ‎∴‎ 整理得，‎ 上式对任意恒成立 ‎∴且 得或 解得或 又当时，点与重合，故舍去 综上可知，在直线上存在定点，使得为常数3.‎ ‎22.解:‎ ‎(1)，设 ‎∴，解得或(舍去)‎ ‎∴当即时，最小值为8.‎ ‎(2)‎ 法一：依题意，可得 ‎∴‎ ‎∴当即时，取最小值为9.‎ 法二：由，得 ‎∴‎ ‎∴当即时，取最小值为9.‎