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2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）
1. 集合，，若，则实数的值为_______.
【答案】0
【解析】 ，，且，，即实数的值为，故答案为.
2. 复数，其中为虚数单位,则的虚部为_______.
【答案】-1
【解析】 ，的虚部为，故答案为.
3. 从集合中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于”的概率为_______.
【答案】
【解析】从集合中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，若不含共有种，若含共有种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取方法），所以共有种，其中大于的共有种，所以“对数值大于”的概率为，故答案为.
4. 甲、乙两个城市2017年夏季连续5天中，每天的最高气温（）数据如下：
城市
每天的最高气温
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
甲
28
31
27
33
31
乙
25
26
29
34
36
则这5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为_______. (填甲或乙).
【答案】甲
【解析】甲、乙两个城市的最高气温平均值都是，甲的方差为，
乙的方差为每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为甲，故答案为甲.
5. 在平行四边形中，，，则四边形的面积为_______.
【答案】5
【解析】 ，，，，四边形的面积是三角形面积的二倍为，故答案为.
6. 抛物线上一点到焦点的距离为4，则实数的值为_______.
【答案】2或6
【解析】抛物线上一点到焦点的距离为4，，解得或的值为或，故答案为或.
7. 设变量满足，则的最小值为_______.
【答案】5
【解析】
画出表示的可行域如图，由，得，平移直线，由图知，当直线经过时，有最小值，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函
数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为_______.
【答案】
【解析】将的图象向右平移个单位，得到的图象，所以，，故答案为......................
9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.
【答案】
【解析】因为，，，分别为所在棱的中点，所以棱柱的体积，设甲中水面的高度为，则，故答案为.
10. “”是“两直线和平行”的_______条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)
【答案】充要
【解析】若，则或（此时两直线重合，舍去），所以
必要性成立；若充分性成立，所以“”是“两直线和平行”的充要条件，故答案为充要.
11. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的直线被圆，圆截得的弦分别为，，且，则定点的坐标为_______.
【答案】
【解析】 总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是点在两圆心连线上，因为圆心连线方程为，可设，设直线的方程为，因为，所以，解得或（此时点在圆外，舍去），故答案为.
12. 已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】以正三角形的中心为原点，以边上的高为轴建立坐标系，则，正三角形内切圆的方程为，所以可设，则， ，故答案为.
13. 已知均为正数，，，则的最大值为_______.
【答案】16
【解析】，，因为均为正数，所以，当且仅当 时取等号，所以的最小值为，故答案为.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14. 已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
若，则在上递增，有最小值，不合题意，，要使在的最大值为，如果，即，则，得矛盾，不合题意；如果，则，，，若有四个零点，则与有四个交点，只有开口向上，即，当与有一个交点时，方程有一个根，得，此时函数有三个不同的零点，要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的开口要比的开口大，可得，，即实数的取值范围为，故答案为.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 在中，.
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；（2）在直角与直角中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值.
试题解析：（1）由，两边平方，
即，得到，即。
所以 .
（2）在直角中， ，
在直角中， ，
又，所以，
所以 ，
由得，，故，
当且仅当时，，从而 .
16. 如图，在四棱锥中，已知底面为平行四边形，，三角形为锐角三角形，面面，设为的中点.
求证： (1) 面；
(2) 面.
【答案】（1）见解析(2)见解析
【解析】试题分析：（1）连接交于，连接，由三角形中位线定理可得//，又平面，平面，所以//平面；（2）过作的垂线，垂足为，根据面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的性质可得，结合，根据线面垂直的判定定理可得面.
试题解析：（1）证明：连接交于，连接．
在平行四边形中，对角线交于，
则为的中点，又已知为的中点，所以为的中位线，
所以//，又平面，平面，
所以//平面.
(2)过作的垂线，垂足为，即；因为三角形为锐角三角形，所以CM与CB不重合，因为，平面 平面，平面 平面 ，且，平面，所以，平面，又平面，所以，又已知，，平面，
所以 平面。
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
17. 已知函数是定义在上的偶函数.当时，.
(1) 求曲线在点处的切线方程；
(2) 若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据是偶函数，当时，，可得当时，， ，求出可得切线斜率，求出,可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（2）令，则原命题等价于，恒成立， 即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为.
试题解析：因为为偶函数，所以，
当时，则，故 ，所以，
从而得到， ，
（1）当时， ，所以
所以在点的切线方程为：，即
（2）关于的不等式恒成立，即 恒成立
令，则原命题等价于，恒成立，
即恒成立，
记，，
当时，，则递增；当时，，则递减；
所以，当时，取极大值，也是最大值，
所以，
即实数a的范围为 .
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
18. 在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图，
)都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点.
（1）求灯柱的高为多少米;
（2）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）连接， 设，则，在直角与直角中，根据直角三角形的性质可得，解得 ，从而可得；（2）以为坐标原点， ，分别为轴，建立直角坐标系，可求出，，所以，切化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得，结合，可得到取最小值.
试题解析：（1）连接， 设，则，
在直角中， ，
在直角中， ，
则有，解得 ，
在直角中， .
（2）以为坐标原点， ，分别为轴，建立直角坐标系，则
，又
①若，由（1）知，
②若，
则直线的方程为，则；
直线的方程为，则；
所以
==
又，所以当且仅当时，取最小值；
综合①②知，当时，取最小值.
19. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点，（在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点，（在轴上方），点为椭圆上异于，，，一点，直线交于点，交于点，如图2，求证：为定值.
【答案】（1）(2) ①②
【解析】试题分析：（1）设，已知，即，所以，故，即,再根据椭圆经过解得，从而可得椭圆的方程；（2）设平行的直线的方程为，且，① 联立，得到，根据韦达定理求得，，从而可得直线的斜率为定值，②由题意可知，求出.设，求出 的坐标，利用弦长公式分别求出的值，将用表示，化简消去即可的结论.
试题解析：（1）由题意，可设，已知，即，
所以，故，即；
又椭圆经过，即 ，解得；
故所求椭圆的方程为：
(2)设平行的直线的方程为，且，
① 联立，得到，
所以，；
故，直线的斜率为（定值）
②由题意可知，
联立方程组得
设，先考虑直线斜率都存在的情形：
直线，
联立方程组：得,
直线,
联立方程组：得,
则，
，
所以
当直线斜率不存在时结果仍然成立.
20. 已知函数.
（1）当时，求在上的值域；
（2）试求的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1）（2）当时，只有一个零点；当时，有两个零点．
【解析】试题分析：（1）当时，，则，而在上恒成立，所以在上递减，由，可得
当时，，递增；当时，递减；所以，比较的大小可得，进而可得结果；
（2）原方程等价于实根的个数，原命题也等价于在上的零点个数，讨论，，，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.
试题解析：（1）当时，，则，
而在上恒成立，所以在上递减，
，，
所以在上存在唯一的，使得，而且
当时，，递增；当时，递减；
所以，当时，取极大值，也是最大值，即，
，
所以，在上的值域为.
（2）令，得，显然不是方程的根，
那么原方程等价于实根的个数，令，
原命题也等价于在上的零点个数；
又因为，所以在和上都是单调递增的；
（I）若，则
当时，恒成立，则没有零点；
当时，，，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。
（II）若，则
当时，恒成立，则没有零点；
当时，，，又在上单调递增的，所以有唯一的零点
（III）若，则
当时，由 ，则，
则取，则，又，所以在有唯一的零点，
当时，，
，又在上单调递增的，所以有唯一的零点
综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点．
21. 已知曲线，先将曲线作关于轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转。
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵;
(2)求曲线在作用下得到的曲线的方程.
【答案】（1）,（2）
【解析】试题分析：（1）反射变换对应的矩阵为，旋转变换对应的矩阵为；（2在曲线上任取一点，在作用下对应点为，即，则，又，所以，从而可得曲线在作用下得到的曲线的方程.
试题解析：（1）由题意，反射变换对应的矩阵为，
旋转变换对应的矩阵为
（2）在曲线上任取一点，在作用下对应点为，即
，则，又，所以
即曲线的方程为： .
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的参数方程为（为参数），以原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.设直线与椭圆相交于,求线段的长.
【答案】
【解析】试题分析：圆的参数方程变形为,两式平方后相加可得椭圆的普通方程，再与直线的普通方程联立可得点的坐标，利用两点间距离公式可得线段的长.
试题解析：由已知，椭圆的普通方程为： ，
直线的普通方程为：
联立解得或
所以 .
23. 袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,
(1)求取球3次则停止取球的概率;
(2)求随机变量的分布列.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式可得取球次则停止取球的概率；（2）可能的取值为2,3,4,5，根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
试题解析：（1）记“取球3次停止”为事件， 则；
（2）由题意，可能的取值为2,3,4,5，
；
；
其分布表如下：
2
3
4
5
24. 如图,在斜三棱柱中,底面为正三角形,面⊥面,,
.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)设为的中点,求面与面所成角的正弦值.
【答案】（1）与所成角的余弦值为0. （2）
【解析】试题分析：（1）可设，取的中点，连接，先证明，再由面面垂直的性质可得，因此两两互相垂直．以
为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，分别求出，，可得，从而得异面直线与所成角的余弦值；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得面与面所成角的余弦值，进而可得正弦值.
试题解析：不妨设，取的中点，连接，
因为底面为正三角形，则，且，
因为，所以，
又因为 面面，面面 ，面，
所以，因此两两互相垂直．以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
（1）由已知得，，
又，即，所以，
所以与所成角的余弦值为0.
（2）由已知得，，设平面的法向量
则，即，令，则
即平面一个法向量；
又，，设平面的法向量，则
，即，令，则
即平面一个法向量；
又，记面与面所成的角为，，则
，所以
所以，面与面所成角的正弦值为 .
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，利用空间向量求异面直线所成的角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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