小专题(五) 平行四边形的证明思路
类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1． 如图，延长▱ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接点A，E和点C，F.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AB＝CD.
∴AF∥EC.
又∵DF＝DC，BE＝BA，
∴BE＝DF.∴AF＝EC.
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE＝CF.
2．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F，并且AE＝DF.求证：
(1)BE＝CF；
(2)四边形BECF是平行四边形．
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证明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90 °.
∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.
在△AEB和△DFC中，
∴△AEB≌△DFC(ASA)．
∴BE＝CF.
(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF.
又∵BE＝CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
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又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60 °.
∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF.求证：
(1)BF＝DC；
(2)四边形ABFD是平行四边形．
证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴CE＝BE.
在△DEC和△FEB中，
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∴△DEC≌△FEB(SAS)．
∴BF＝DC.
(2)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝AB.
又∵EF＝DE，
∴DE＝DF.
∴DF＝AB.
又∵DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形．
类型2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，现有一六边形铁板ABCDEF，其中∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝10 cm，BC＝70 cm，CD＝20 cm，DE＝40 cm，求AF和EF的长．
解：延长FA，CB交于点M，延长FE，CD交于点N.
∵∠FED＝∠CDE＝120 °，
∴∠NED＝∠NDE＝60 °.
∴△END是等边三角形．
∴EN＝DN＝DE＝40 cm.
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同理：△AMB是等边三角形．
∴AM＝BM＝AB＝10 cm.
∵∠FMB＝∠END＝60 °，∠F＝∠C＝120 °，
∴四边形FMCN是平行四边形．
∴MC＝FN，MF＝CN.
∵AB＝10 cm，BC＝70 cm，
CD＝20 cm，DE＝40 cm，
∴AF＝MF－AM＝CN－AM＝CD＋DN－AM＝50 cm，EF＝FN－EN＝MC－EN＝BM＋BC－EN＝40 cm.
类型3 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
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又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
类型4 平行四边形证明中的“一题多解”
7．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE.求证：四边形ABCD是平行四边形(至少用三种不同的方法证明)．
证明：证法1：∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF，
即BE＝DF.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90 °.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AB＝CD.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．∴AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
证法2：同证法1，得△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF.∴AB∥CD.
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同理可证，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．
证法3：同证法1，得△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF.∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
证法4：连接AC，交BD于点O.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)．
∴AO＝CO，EO＝FO.
∵BF＝DE，
∴BF－FO＝DE－EO，即BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
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