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荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟
2018届高三2月联考
文科数学试题
命题学校：荆州中学
本试卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为，值域为，全集，则集合
A． B． C． D．
2．已知是纯虚数，若，则实数的值为
输入n
a=1,b=1,S=0
i=1
S=a
?
i=i+1
S=S+b
输出S
否
in?
是
开始
结束
A．1 B．3 C．－1 D．－3
3．已知为单位向量，，则的最大值为
A．1 B． C．2 D．3
4．已知，则
A． B．
C． D．
5．数列中，，设计一种计算的前项和的算法框图如右，其中赋值框中应填入的是
A． B．
C． D．
5
2
1
6．一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．襄阳四中、五中属于襄阳市，宜昌一中、夷陵中学属于宜昌市，龙泉中学、钟祥一中属于荆门市，荆州中学属于荆州市，从参加本次七校联考的七所学校中抽取两个学校的成绩进行分析，则抽出来的两所学校属于不同城市的概率为
A． B． C． D．
8．已知，过作的两条切线，其中为切点，则经过三点的圆的半径为
A． B． C． D．
9．函数的图象大致为
A
B
C
D
10．设，令，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数值为
A．2018 B. 2019 C． 2020 D. 2021
11．将函数的图象向右移个单位后，所得图象关于
轴对称，则的最小值为
A．2 B．1 C． D．
12．在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．满足，则的最小值为 ______________．
14．抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于两点（为坐标原点），与抛物线的准线交于点，直线与抛物线的另一交点为，则 ．
15．《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 荆州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第 天．（用整数作答）
16．奇函数是上单调函数，有唯一零点，则的取值集合为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知.
（1）求的最大值、最小值；
（2）为的内角平分线，已知，，求．
18．（12分）
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，为的中点.
（1）在侧棱上找一点，使∥平面，
并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积．
o
12 14 16 19 20 22 24
200
150
100
50
.
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y(产蛋量)
x(温度)
19．（12分）
已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位：℃），对某种鸡的时段产蛋量（单位：）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
17.40
82.30
3.6
140
9.7
2935.1
35.0
其中.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）
（2）若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为28℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？
附：①对于一组具有有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
②
0.08
0.47
2.72
20.09
1096.63
20．（12分）
已知椭圆的离心率，且经过点.
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围．
21．（12分）
已知.
（1）若有两个零点，求的范围；
（2）若有两个极值点，求的范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个极值点为，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）
椭圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的方程为.
（1）求出直角坐标系中的方程和椭圆的普通方程；
（2）椭圆上有一个动点，求到的最小距离及此时的坐标．
23．（10分）
已知是常数，对任意实数，不等式恒成立.
（1）求的取值集合；
（2）设，求证：．
荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟
2018届高三2月联考文科数学参考答案
一、选择题
CBCAD AADDB BD
二、填空题
13. 14. 15. 6 16.
三、解答题
17.（1） ………………4分
在上↑，上↓
………………6分
△中，
△中
………………8分
△中，
△中，
， ………………12分
18（1）为的中点 ………………1分
取的中点为，连
为正方形，为的中点
平行且等于，
又
平面
平行平面 ………………6分
（2）为的中点，
为正四棱锥
在平面的射影为的中点
………………12分
19. （1）适宜 ………………2分
（2）由得 ………………3分
令
由图表中的数据可知………………6分
关于的回归方程为………………8分
（3）时，由回归方程得，
即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432。
20.（1） ………………（2分）
（2）的斜率不存在时，的垂直平分线与轴重合，没有截距，故的斜率存在. ………………（3分）
设的方程为，代入椭圆方程
得：与椭圆有两个不同的交点
，即，即或.………………（5分）
设的中点
则
的垂直平分线的方程为
在轴上的截距为 ………………（8分）
设，则，
时，恒成立
时，时
的垂直平分线在轴上的截距的范围是 ………………（12分）
21.方法一：
（1）
有两个零点，有两个零点
时在上单调，最多有一个零点，不合题意
在上↑，在上↓
………………（3分）
又时，
必有两个零点
………………4分
（2）有两个改变符号的零点
设则
时，恒成立，在上单调，最多有一个零点，不合题意
由得：，
在上↑，在上↓
，即 ………………（7分）
又
在各有一个零点
………………8分
（3）由（2），结合h(1)=1-2a>0，知
设
在上↓，
………………12分
方法二：分离参数法
（1），两图象有两交点
令
当
当，
结合图像，。
（2）有两个改变符号的零点
等价于对应的两函数的图像有两交点
令
当
当
结合图象，
（3）由（2）
22.（1） ………………5分
（2）设到的距离为
当时，到的距离最小，最小值为
此时 ………………10分
23.（1）
，的取值集合为 ………………5分
（2）
即 ………………10分
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