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荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟
2018届高三2月联考
理科数学试题
命题学校：宜昌一中
本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数(其中是虚数单位）对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设则“”是“” 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，
，则
A． B．
C． D．
5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为
（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A．12 B．20 C．24 D．48
6．已知实数满足约束条件若的最大值为4，则
A．2 B． C．3 D．4
7．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为且，设则数列的前10项和等于
A．55 B．70 C．85 D．100
8．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是
A．3 B．4 C． D．8
9．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则=
A． B． C． D．
10．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．则该巨响发生在接报中心的( )处．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离 B．东偏南45°方向，距离
C．西偏北45°方向，距离 D．东偏南45°方向，距离
12．对，设是关于的方程的实数根，（符号表示不超过的最大整数）．则
A．1010 B．1012 C．2018 D．2020
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则 ．
14．设，则 ．
15．已知平面向量的夹角为 120°，且．若平面向量满足，则 ．
16．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，求的长．
18．（12分）
如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且,，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
19．（12分）
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．
利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）
20．（12分）
如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为
，令点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．
21．（12分）
已知为正的常数，函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）设，求在区间[1,]上的最小值．（为自然对数的底数）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求实数的值．
23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）
已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）当，函数有零点，求实数的取值范围．
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2018届高三2月联考理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
D
C
C
C
B
C
B
A
A
13. 14． 15. 16. .
17.解：（1）在中，（1） ………………2分
在中，（2） ………………4分
又 ………………6分
（此题没利用正弦定理且证明过程正确的，给2分）
（2）在中，
又 ………………8分
法一：在中，
………………10分
在中，
………………12分
法二：
故 ………………10分
在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD
所以． ………………12分
18. （1）证明：取CD 中点N，连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．
又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥
CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形． ………………2分
所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，
所以FN∥平面BDE， 又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．
又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE． ………………4分
（2）解：取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．
因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．
因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．
因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，
以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz ………………6分
由题意得，A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，．
设平面的法向量为
则，即，令．则所以．…8分
设平面的法向量为
则，即，令．则所以．…10分
二面角平面角的正弦值为 …………………12分
19.解：（1）数据整理如下表：
健康状况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80岁及以上
20
45
20
15
80岁以下
200
225
50
25
从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，
80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以下应抽取：8×=5人．…………………2分
（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：
用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，
80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．……………4分
（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，
，，
， ……………8分
则随机变量X的分布列为：
X
0
120
200
220
300
P
……………10分
全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．
政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元． ……………12分
20.（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|， ……………2分
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，
∴，∴M的轨迹C的方程为．……………4分
（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到即直线AB的距离：
，即， ……………5分
由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，……………6分
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，……………7分
又，∴，∴，
设μ=k4+k2，则，∴，……………10分
∵S△AOB关于μ在单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是．
………12分
21.解：（1）时,,
，可得单调增区间是 ………4分
（2）,
当时,则,,得
；……6分
当时,单调递增,； ……8分
当时,在上减,上增, ……10分
综上所述： ……12分
22.解：（1）由曲线的参数方程为
消去参数得曲线的普通方程为． …………2分
曲线的极坐标方程为，，
的直角坐标方程为，整理，得．…………4分
（2）曲线： 化为极坐标方程为，…………6分
设，
曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且均异于原点O，且，
，…………8分
，解得．…………10分
23.解：（1）∵，∴，
∴， …………3分
∴，∴，∴实数的最大值为1； …………5分
（2）当时，
∴， …………8分
∴或∴，∴实数的取值范围是…………10分
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