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泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测
高二年级理科数学试卷
一、 选择题(本大题共12小题，共60分)
1.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．以下四组向量中，互相平行的是（ ）
(1) ,； (2) ,；
（3）,； （4）,
A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (4) D. (2) (3)
4． （ ）
A. B. C. D.
5.某算法的程序框图如图所示，若输入的，的值分别为和，
则程序执行后的结果为（ ）
A． B. C. D.
6．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，给出了迄今为止对勾股定理最早，最简洁的证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A. B. C. D.
8．校艺术节期间对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“B作品获得一等奖”； 乙说：“是C作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C或D作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）
A. A作品 B. B作品 C. C作品 D. D作品
9．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
10. 当时，函数的图象大致是( )
11．已知椭圆 与圆 ，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.为调查泉港区高二年学生每天用于课外阅读的时间，现从本区高二年3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计本区高二年学生中每天用于阅读的时间在 (单位：分钟)内的学生人数为____________．
14．分别从集合和集合中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是____________．
15．正方体中，点在上运动（包括端点），
则与所成角的取值范围是____________．
16.如图所示，由曲线，直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.
运用类比推理，
若对， 恒成立，则实数＝____________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分10分）
已知抛物线的焦点为，点在上且点在第一象限，.
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）若直线与交于另一点，为坐标原点，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某游艇制造厂研发了一种新游艇，今年前5个月的产量如下：
月份
1
2
3
4
5
游艇数(艘)
2
3
5
7
8
（Ⅰ）设关于的回归直线方程为.现根据表中数据已经正确计算出了的值为，试求的值，并估计该厂月份的产量（计算结果精确到1）.
（Ⅱ）质检部门发现该厂月份生产的游艇存在质量问题，要求厂家召回；现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇艘，求该旅游公司有游艇被召回的概率.
19.（本小题满分12分）
设
（Ⅰ）是奇函数，且当时，的极小值为，求的解析式。
（Ⅱ）若，是上的增函数，求的取值范围
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，
， 是的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
21.（本小题满分12分）
已知圆:，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和
半径相交于．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于、两点, 直线的斜率分别为 (其中)．若恰好构成公比不为的等比数列，求的值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
22.（本小题满分12分）
已知函数与在点处有相同的切线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立．求实数的取值范围．
泉港一中2017-2018学年上学期期末考试
高二年级理科数学参考答案
一、选择题（共12题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
A
B
C
A
B
B
B
A
D
二、填空题（共4题，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（共6题，共70分）
17.（Ⅰ）由抛物线的定义，得， 2分
解得，所以，又点在第一象限
解得
所以点的坐标为. 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以直线的斜率为
故直线的方程为， 6分
由
消去，得， 7分
由抛物线的定义，得， 8分
点到直线：的距离 9分
所以的面积为. 10分
（利用的面积为. 同理）
18．解：（Ⅰ）， ………………2分
回归直线过点，
…………………………………4分
当时，
估计该厂月份的产量为艘.……………………………6分
（Ⅱ）解法一：
设一月份生产的艘游艇为，二月份生产的艘游艇为，
旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有：
，，，，,,,,,共种 ………………………………………8分
其中2艘游艇全为二月份生产的结果有,,共3种……10分
两艘游艇全部为二月份生产的概率为
两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为
即该旅游公司有游艇被召回的概率为 ……………………………12分
解法二：
设一月份生产的艘游艇为，二月份生产的艘游艇为
旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有：
，，，，,,,,
,共种 …………………………………………8分
其中，两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有：
，，，，,,共7种……10分
两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为
即该旅游公司有游艇被召回的概率为.………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以，……… 1分
所以，
所以，……… 2分
所以
由， 依题意，， ，
解之，得 ……… 5分
经检验符合题意 ，故所求函数的解析式为.……… 6分
(Ⅱ)当时，，，……… 7分
因为是上的增函数，所以恒成立，……… 9分
即成立，所以 （没有考虑等号扣2分） 12分
20. （本题12分）
∵平面 ∴ 平面⊥平面 . ………………………………6分
由(Ⅰ)知⊥平面，∴是平面的一个法向量,
B
A
C
D
E
P
F
z
x
y
设平面的一个法向量为
由 ,且由
在以上二式中令，则得，，
∴,设平面与平面所成锐角为
故平面与平面所成的锐角为 ……………………………………12分
21. （本题12分）
（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=4,
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．………………2分
设其方程为，可知，，则，……4分
所以点Q的轨迹的方程为. ………………………5分
(2)设直线的方程为，，
因为恰好构成公比不为1的等比数列，所以
由可得，
由韦达定理有：
且………………8分
∵构成等比数列，=，
即………………………………………………10分
由韦达定理代入化简得：．∵ ，. ………12分
22．（本题12分）
解：(Ⅰ) ， ……………………………………1分
依题意的，， ……………………………………3分
即，解得 ……………………………………4分
（Ⅱ） 等价于
令， ………………………………5分
由于，所以
①当时，，单调递增，，满足题意.
②当时，，单调递减，，不满足题意.
………………………………7分
③当时，
令，得，，其中，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故要使当时，恒成立，只需满足，
解得，所以 …………………………11分
综上， …………………………12分
备注：分离参数或其他方法相应给分
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